Saudacoes! A prova era assim: pensa que seu polinomio e' P(z)=z^n+a1.z^(n-1)+...+an. Se z=R.cis(t),P(z)=R^n(cis(nt)+o(1)), onde o(1) e' uma coisa pequena, que tende a 0 quando R tende a infinito. Mas isso mostra que a imagem de um circulo grande por P(z) da' n voltas em torno de 0 (a origem) no sentido anti-horario. Por outro lado, se P(0) nao e' 0, entao a imagem de um circulo pequeno centrado em 0 por P esta' pertinho de P(0) e logo nao da' volta nenhuma em torno da origem. Se P(z) nunca e' 0, entao o numero de voltas que a imagem por P de um circulo de centro em 0 e raio R da' em torno de 0 e' sempre inteiro e e' uma funcao continua de R, donde e' constante, absurdo pois varia entre 0 (para R pequeno) e n (para R grande). Portanto em algum momento as imagens desses circulos devem passar por 0 (a unica coisa que pode fazer mudar o numero de voltas), e logo existe c com P(c)=0. Abracos, Gugu
Nota:cis(t):=cos(t)+i.sen(t). >> >> >>Ola Gugu,tudo bem?Voce poderia me passar a tal demonstraçao do Teorema Fundamental >>da Algebra que voce tinha >dado na Semana Olimpica?Estou muito interessado em ve-la.O Shine tinha me falado numa >demonstraçao bem legal. >Vou reproduzir uns trechos que a minha fraca memoria ainda retem.Aproveito e respondo >algo aos caras da >lista.Ha tempos que eles perguntam disso!! >> >>Pegue o polinomio P(x).Ce quer um z complexo tal que P(z)=0.Seja z=r*cis T=x+yi. >> >>Substitua a segunda forma na equaçao e voce obtem as curvas >> >>Re(x,y)=0 e Im(x,y)=0,com P(x+yi)=Re(x,y)+i*Im(x,y). >> >>Mostrando que Re e Im se cortam,acabou.Para tal trabalhe com um disco de raio >>gigante centrado na origem >e mostre que os caras se cortam dentro dele. >> >>Melhor que isso:Que tal colocar isto na Eureka? >> >> >> >>-THE WOOD IS EATING!!!! >> >>-NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE. >> >> >> >>--------------------------------- >>Busca Yahoo! >>O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. >>--0-1906017552-1046193829=:98234 >>Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 >>Content-Transfer-Encoding: 8bit >> >><P>Ola Gugu,tudo bem?Voce poderia me passar a tal demonstraçao do Teorema >>Fundamental da Algebra que voce tinha dado na Semana Olimpica?Estou muito >>interessado em ve-la.O Shine tinha me falado numa demonstraçao bem legal.Vou >>reproduzir uns trechos que a minha fraca memoria ainda retem.Aproveito e respondo >>algo aos caras da lista.Ha tempos que eles perguntam disso!!</P> >><P>Pegue o polinomio P(x).Ce quer um z complexo tal que P(z)=0.Seja z=r*cis >>T=x+yi.</P> >><P>Substitua a segunda forma na equaçao e voce obtem as curvas </P> >><P>Re(x,y)=0 e Im(x,y)=0,com P(x+yi)=Re(x,y)+i*Im(x,y).</P> >><P>Mostrando que Re e Im se cortam,acabou.Para tal trabalhe com um disco de raio >>gigante centrado na origem e mostre que os caras se cortam dentro dele.</P> >><P>Melhor que isso:Que tal colocar isto na Eureka?</P><BR><BR><P><FONT face="Arial >>Black">-THE WOOD IS EATING!!!!</FONT></P> >><P><FONT face="Arial Black">-NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR >>FACE.</FONT></P><p><br><hr size=1><b><a href="http://br.busca.yahoo.com/">Busca >>Yahoo! </a></b><br> >>O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. >>--0-1906017552-1046193829=:98234-- > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================