On Tue, Jan 27, 2004 at 05:24:55PM -0300, João Silva wrote: > Alguem sabe como se resolve: > > Um homem acha-se no centro de um circulo. A periferia desse circulo é > delimitada por uma cerca, que separa um homem de um cachorro. Admitindo que > o cachorro só pode correr ao longo da cerca: > > - Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo cao se > as velocidades maximas possiveis de serem desenvolvidas pelo cachorro e pelo > homem entiverem entre si na razao 4 : 1. > > - Determine as relacoes entre as velocidades maximas do cachorro e do homem > para os quais o homem pode escapar.
Muito bem, acho que encontrei a estratégia correta para o homem. Como na mensagem anterior o raio é 1, a velocidade do homem é 1 e a velocidade do cachorro é c > 1. O homem começa andando até o círculo de raio 1/c em posição diametralmente oposta ao cachorro. A partir daí ele tem que cobrir cada raio r, 1/c < r < 1, e ele quer manter o ângulo entre ele e o cachorro tão grande quanto possível (inicialmente é pi). Ele ganha se conseguir chegar a r = 1 com um ângulo ainda positivo. Suponha que ele está a uma distância r do centro e o cachorro está afastado de um ângulo a. Ele pode correr fazendo um ângulo b com o raio (para ao mesmo tempo aumentar r e conter a inevitável diminuição de a). Ele demora um tempo dt = sec(b) dr para aumentar r de um pequeno acréscimo dr. Durante este tempo o cachorro percorreu um ângulo c dt = c sec(b) dr mas ele compensou a diminuição do ângulo em tan(b)/r dr. Ou seja, da = ( tan(b)/r - c sec(b) ) dr. O homem deve escolher b de tal forma que tan(b)/r - c sec(b) seja máximo. Com um pouco de cálculo podemos determinar que este valor mínimo é -sqrt(c^2r^2 - 1)/r. Assim a diminuição no valor de a é f(c) = int_{1/c}^1 sqrt(c^2r^2 - 1)/r dr = sqrt(c^2 - 1) - arctan(sqrt(c^2 - 1)) e esta função crescente vale pi para aproximadamente c ~= 4.603338849 []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================