[obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
É o teorema de Jensen, temos que provar que a função é convexa (meio fácil de ver né? ) Suponha o contrário, ou seja, f((x+y)/2) = [f(x) +f(y)]/2. E suponha x!=y teríamos a(x+y)²/4 + b(x+y)/2 + c = a(x²+y²)/2 + b(x+y)/2 + c = (x+y)² = 2(x²+y²) (x-y)²=0, absurdo []'s João Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x) +f(y)]/2. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
Falou João, muito obrigado! Em 7 de abril de 2013 15:16, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: É o teorema de Jensen, temos que provar que a função é convexa (meio fácil de ver né? ) Suponha o contrário, ou seja, f((x+y)/2) = [f(x) +f(y)]/2. E suponha x!=y teríamos a(x+y)²/4 + b(x+y)/2 + c = a(x²+y²)/2 + b(x+y)/2 + c = (x+y)² = 2(x²+y²) (x-y)²=0, absurdo []'s João Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x) +f(y)]/2. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
Temos que f''(x)= 2a 0 para todo x. Segue de Jensen que f(x+y/2) (f(x)+f(y))/2 Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x) +f(y)]/2. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
Já vi que usando o teorema fica simples... mas fiquei curioso com uma coisa: dos arquivos que baixei sobre a desiguldade de Jansen, nenhum deles mostra como foi intuida tal desigualdade. Usam indução numa desigualdade que surgiu de onde? Será que te uma prova direta... ou só o fato geométrico é suficiente para intuir tal desigualdade? 2013/4/7 Hyon Ferreira Cordeiro h-y-o...@hotmail.com Temos que f''(x)= 2a 0 para todo x. Segue de Jensen que f(x+y/2) (f(x)+f(y))/2 -- Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x) +f(y)]/2. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
Não, para que uma prova seja matematicamente válida não podemos apelar para a geometria. A prova da desigualdade de Jensen baseia-se na definição de função convexa. Uma função com valores em R é convexa se, para todos x1 e x2 de seu domínio tivermos f(Lx1 + (1 - L)x2) = L f(x1) + (1 - L) f)x2) para todo L em [0, 1].. Se sempre tivermos desigualdade estrita a função é dita estritamente convexa. E neste caso, na desigualdade de Jensen a desigualdade também é estrita. Se for uma função de R em R, isto significa que, geometricamente, o segmento do gráfico que une 2 pontos da função está abaixo ou coincidindo com o segmento de reta que une os dois pontos. Mas a definição de função convexa não é geométrica. No caso da função quadrática, nem precisaríamos da desigualdade de Jensen. Como a derivada segunda é positiva em R, a função é estritamente convexa (porque a 1a derivada é estritamente crescente). Basta então aplicar a definição de convexidade estrita com L = 1/2. Artur Costa Steiner Em 07/04/2013, às 21:47, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu: Já vi que usando o teorema fica simples... mas fiquei curioso com uma coisa: dos arquivos que baixei sobre a desiguldade de Jansen, nenhum deles mostra como foi intuida tal desigualdade. Usam indução numa desigualdade que surgiu de onde? Será que te uma prova direta... ou só o fato geométrico é suficiente para intuir tal desigualdade? 2013/4/7 Hyon Ferreira Cordeiro h-y-o...@hotmail.com Temos que f''(x)= 2a 0 para todo x. Segue de Jensen que f(x+y/2) (f(x)+f(y))/2 Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x) +f(y)]/2. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
