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\begin{document}

\title{théorie de morse}


\author{tanya lee - jim varas}

\begin{abstract}
Ce travail est basé sur le livre de John Milnor sur la théorie de
Morse. Nous étudions la nature des points critiques d'une fonction
sur une variété et nous obtenions des résultats sur la nature topologique
de la variété elle-même. D'abord, nous donnerons quelques notions
basiques nécessaires à la compréhension de la théorie, mais le lecteur
doit savoir qu'elles ne sont pas suffisantes, il faut réviser la littérature
existante, puis nous démontrerons les principaux résultats de la théorie
de Morse, et enfin nous allons appliquer ces résultats pour démontrer
l'inégalité qui existe entre la courbure d'une surface et la somme
des nombres de Betti, mais notre intérêt principal sera la classification
des surfaces.
\end{abstract}
\maketitle

\section{les notions basiques}


\subsection{Variété}

\begin{defn}
Un sous-ensemble M de $\mathbb{R}^{n}$ est une sous-variété si pour
tout points $x_{0}$ de M, il existe un voisinage U de $x_{0}$ dans
$\mathbb{R}^{n}$ et un difféomorphisme $\varphi $, défini sur U,
d'image un voisinage V de 0 dans $\mathbb{R}^{n}$, tel que\[
\varphi \left(U\cap M\right)=V\cap \left(\mathbb{R}^{p}\times \left\{ 0\right\} \right)\]
 

L'entier p est appelé dimension de M en $x_{0}$ . En résumé, une
variété est localement difféomorphe à $\mathbb{R}^{p}$ dans $\mathbb{R}^{n}$
.
\end{defn}
\begin{rem}
(1) Le difféomorphisme $\varphi $ s'appelle une {}``carte locale''
de M en $x_{0}$ .

(2) L'ensemble de points où M est de dimension p est ouvert, alors
si M est en plus connexe, sa dimension est la même en chaque point,
et se note dim$\left(M\right)$ .
\end{rem}
\hfill{}

\begin{defn}
L'ensemble des points x tel que pour tout voisinage U de x, $U\cap M$
soit difféomorphe à $\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_{+}$ est le
bord de M et est noté $\partial M$ .
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
Soient X et Y deux sous-variétés respectivement de $\mathbb{R}^{n}$
et de $\mathbb{R}^{k}$ .

$f:X\rightarrow Y$ est un difféomorphisme de classe $C^{p}$ ssi
il existe $\phi :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{k}$ de classe
$C^{p}$ tel que la restriction de $\phi $ à X soit f et si f est
un homéomorphisme de X dans Y.
\end{defn}
\hfill{}


\subsection{Espaces tangents}

On suppose dorénavant que $M^{p}$ est une variété de dimension p.

\begin{defn}
Soit $M^{p}$ une sous-variété de $\mathbb{R}^{n}$ , et $x_{0}$
un point de $M^{p}$ , $\varphi $ une carte en $x_{0}$ . L'espace
tangent (vectoriel) à $M$ en $x_{0}$ est l'espace vectoriel $d\varphi ^{-1}\left(0\right)\left(\mathbb{R}^{p}\times \left\{ 0\right\} \right)$
, noté $T_{x_{0}}M$ . L'espace affine tangent à M en $x_{0}$ est
l'unique espace affine passant par $x_{0}$ et dirigé par $T_{x_{0}}M$
. On le note $\tilde{T}_{x_{0}}M$ .
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
Soient $M$ et $N$ deux sous-variétés respectivement de $\mathbb{R}^{n}$
et $\mathbb{R}^{p}$ , soit U un ouvert contenant $M$ et $f:U\rightarrow \mathbb{R}^{p}$
telle que $f\left(M\right)\subset N$ , alors $d_{a}f:U\rightarrow \mathbb{R}^{p}$
induit une application de $T_{a}M\rightarrow T_{f\left(a\right)}N$
appelée application tangente.
\end{defn}

\subsection{Orientation d'une variété}

Orienter une variété, c'est orienter continûment chaque espace $T_{x}M$
.

\begin{defn}
On peut orienter une variété si on peut trouver un ensemble de cartes
compatibles entre elles. C'est à dire que sur l'intersection de deux
ouverts de cartes, l'application de changement de carte $\phi _{i}^{-1}\circ \phi _{j}$
a un jacobien positif ( $\phi _{i}$ est une carte locale ).
\end{defn}
\begin{rem}
Demander un jacobien positif revient à demander qu'on ne change pas
l'orientation du plan tangent.

\hfill{}
\end{rem}

\subsection{Courbure totale d'une sous-variété de dim p dans $\mathbb{R}^{n}$
.}

\begin{defn}
Soit $M$ une variété fermée définie par un plongement f. On définit
la courbure totale de $M$ , notée comme précédemment $\tau \left(M\right)$
, le réel \[
\tau \left(f\right)=\varepsilon _{L}\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)\]
 où
\end{defn}
\begin{itemize}
\item L est une droite orientée passant par l'origine. (L définit donc une
direction),
\item $\varepsilon _{L}$ représente la valeur moyenne sur toutes les directions
L,
\item $\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)$ est le nombre de points critiques
de la fonction $\pi _{L}\circ f$ .
\end{itemize}

\section{quelques éléments de topologie algébrique}


\subsection{Définitions et résultats utiles}

\begin{defn}
Soit $X$ un espace topologique. On définit un q-simplexe singulier
$\sigma $ de $X$ comme une application de $\mathbb{R}^{\infty }$
dans $X$ telle que ses restrictions à $\mathbb{R}^{n}$ soient continues.
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
Soit K un anneau. $S_{q}$ est le K-module engendré par tous les q-simplexes,
c'est à dire $S_{q}=\left\{ \sum _{\sigma }\mu _{\sigma }\sigma \, \, où\, \, \sigma \, \, est\, \, un\, \, q-simplexe,\, \, \mu _{\sigma }\in K\right\} $
. 

Un élément de $S_{q}$ s'appelle une chaîne de q-simplexes.
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
On appelle $\sigma ^{\left(i\right)}$ l'application {}``$i^{eme}$
face'' de $S_{q}$ dans $S_{q-1}$ telle que $\sigma ^{\left(i\right)}:\left(P_{0},\ldots ,P_{q}\right)\rightarrow \left(P_{0},\ldots ,P_{i-1},P_{i+1},\ldots ,P_{q}\right)$
. 
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
On peut désormais définir le bord $\partial $ d'un q-simplexe comme
une $\left(q-1\right)$-chaîne. $\partial \left(s\right)=\sum _{i=0}^{q}\left(-1\right)^{i}\sigma ^{\left(i\right)}\left(s\right)$
où $s\in S_{q}$ . On pose $\partial \left(P_{0}\right)=0$ . 
\end{defn}
\hfill{}

\begin{thm}
$\partial \circ \partial =0$ 
\end{thm}
\hfill{}

\begin{defn}
On peut définir alors\[
Z_{q}\left(X,K\right)=ker\left(\partial :S_{q}\rightarrow S_{q-1}\right)\]
 \[
B_{q}\left(X,K\right)=Im\left(\partial :S_{q+1}\rightarrow S_{q}\right)\]
 

On pose $B_{0}\left(X,K\right)=0$ .
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
On appelle $q^{eme}$ K-module d'homologie singulière noté $H_{q}\left(X,K\right)$
le quotient $Z_{q}\left(X,K\right)/B_{q}\left(X,K\right)$ .
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
Deux applications f et g de $\Omega \rightarrow U$ sont homotopes
s'il existe une application continue F de $\Omega \times \left[0,1\right]\rightarrow U$
telle que $F\left(w,0\right)=f\left(w\right)$ et $F\left(w,1\right)=g\left(w\right)$
. L'application F est appelée homotopie.
\end{defn}

\subsection{Nombres de Betti et caractéristique d'Euler}

\begin{defn}
Le $q^{eme}$ nombre de Betti est le nombre minimal de générateurs
du K-module $H_{q}\left(X,K\right)$ et est couramment noté $\beta _{q}$
.
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
La caractéristique d'Euler est définie par $\chi \left(X\right)=\sum _{q}\left(-1\right)^{q}\beta _{q}\left(X,K\right)$
.
\end{defn}

\section{théorie de morse}


\subsection{Un premier exemple}

%
\begin{figure*}

\caption{Le tore et ses points critiques}

\includegraphics[  scale=0.7]{/home/jim/Documents/Projet_math/index_gr_19.gif}
\end{figure*}


Nous allons prendre cette surface spécifique, ainsi comme une fonction
particulier sur la surface, comme un petit modèle de ce que l'on va
faire après sous un contexte beaucoup plus général.

Soit $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ , qui dénote la fonction hauteur
par rapport au plan tangent qui passe d'un coté du tore, et soit $M^{a}=\left\{ x\in M/f\left(x\right)\leqslant a\right\} $
. La fonction hauteur a quatre points critiques: $\left\{ p,q,r,s\right\} $
.

Dans ce cadre on peut voir les choses suivants:

\begin{enumerate}
\item Si $a<0=f\left(p\right)$ , alors $M^{a}$ est vide.
\item Si $f\left(p\right)<a<f\left(q\right)$ , alors $M^{a}$ est homéomorphique
à une 2-cell.
\item Si $f\left(q\right)<a<f\left(r\right)$ , alors $M^{a}$ est homéomorphique
à un cylindre.
\item Si $f\left(r\right)<a<f\left(s\right)$ , alors $M^{a}$ est homéomorphique
à une variété compact.
\item Si $f\left(s\right)<a$ , alors $M^{a}$ est tout le tore.
\end{enumerate}
En termes des types d'homotopie, le passage de (1) à (2) se traduit
par une opération de collage d'une 0-cell, (on peut imaginer une 0-cell
comme un point), de (2) à (3) par une 1-cell (on peut imaginer une
1-cell comme un chemin), (3) à (4) par une 1-cell et (4) à (5) par
une 2-cell, (on peut imaginer une 2-cell comme un paraboloïde). Cela
est joli, parce que l'on sait que la caractérisation de p,q,r,s en
termes de f est très simple. Si l'on choisit un système de cordonnées
$\left(x,y\right)$ au voisinage de ces points, on a que $\frac{\partial f}{\partial x}$
et $\frac{\partial f}{\partial y}$ ont la valeur zéro. En p, nous
pouvons choisir $\left(x,y\right)$ tel que $f=x^{2}+y^{2}$ , en
s un autre tel que $f=c-x^{2}-y^{2}$ , enfin, en q et r un autre
tel que $f=c+x^{2}-y^{2}$ . Notez que le nombre de signes moins a
un fort rapport avec la dimension de la k-cell qu'il a fallu coller,
ils sont égalés. On va généralisé tous ces faits.

%
\begin{figure*}

\caption{Les différents types d'homotopie }

\includegraphics[  scale=0.7]{/home/jim/Documents/Projet_math/index_gr_58.gif}
\end{figure*}



\subsection{Points critiques}

\begin{defn}
Un point x de M est un point critique de f si le rang de f est nul
en x (i.e. $d_{x}f=0$ ).
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
nullité
\end{defn}
\hfill{}

\begin{defn}
index
\end{defn}

\subsection{Lemme de Morse}

\begin{lem}
(de Morse) Soit f une application de classe $C^{k}$ , de M dans $\mathbb{R}$
.

Soit $x\in M\setminus \partial M$ un point critique non dégénéré
d'indice p de f, alors il existe un système de coordonnées locales
$\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)$ sur un ouvert U tel que 
\end{lem}
\begin{itemize}
\item $y_{i}\left(x\right)=0\, \, \, \bigvee i\in \left\{ 1,\ldots ,n\right\} $
.
\item $f_{/U}=f\left(x\right)-y_{1}^{2}-\cdots -y_{p}^{2}+y_{p+1}^{2}+\cdots +y_{n}^{2}$
.
\end{itemize}
\begin{cor}
Les points critiques sont isolés.
\end{cor}

\subsection{Fonctions de Morse}


\subsection{Inégalités de Morse}


\subsection{Application de la théorie de Morse à la classification de surfaces}

\begin{thebibliography}{Levecque}
\bibitem[Milnor]{key-1}Théorie de Morse, John Milnor.
\bibitem[Levecque]{key-2}Théorie de Morse, Fanny Levecque.\end{thebibliography}

\end{document}
