%% LyX 1.2 created this file. 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Nous étudions la nature des points critiques d'une fonction sur une variété et nous obtenions des résultats sur la nature topologique de la variété elle-même. D'abord, nous donnerons quelques notions basiques nécessaires à la compréhension de la théorie, mais le lecteur doit savoir qu'elles ne sont pas suffisantes, il faut réviser la littérature existante, puis nous démontrerons les principaux résultats de la théorie de Morse, et enfin nous allons appliquer ces résultats pour démontrer l'inégalité qui existe entre la courbure d'une surface et la somme des nombres de Betti, mais notre intérêt principal sera la classification des surfaces. \end{abstract} \maketitle \section{les notions basiques} \subsection{Variété} \begin{defn} Un sous-ensemble M de $\mathbb{R}^{n}$ est une sous-variété si pour tout points $x_{0}$ de M, il existe un voisinage U de $x_{0}$ dans $\mathbb{R}^{n}$ et un difféomorphisme $\varphi $, défini sur U, d'image un voisinage V de 0 dans $\mathbb{R}^{n}$, tel que\[ \varphi \left(U\cap M\right)=V\cap \left(\mathbb{R}^{p}\times \left\{ 0\right\} \right)\] L'entier p est appelé dimension de M en $x_{0}$ . En résumé, une variété est localement difféomorphe à $\mathbb{R}^{p}$ dans $\mathbb{R}^{n}$ . \end{defn} \begin{rem} (1) Le difféomorphisme $\varphi $ s'appelle une {}``carte locale'' de M en $x_{0}$ . (2) L'ensemble de points où M est de dimension p est ouvert, alors si M est en plus connexe, sa dimension est la même en chaque point, et se note dim$\left(M\right)$ . \end{rem} \hfill{} \begin{defn} L'ensemble des points x tel que pour tout voisinage U de x, $U\cap M$ soit difféomorphe à $\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_{+}$ est le bord de M et est noté $\partial M$ . \end{defn} \hfill{} \begin{defn} Soient X et Y deux sous-variétés respectivement de $\mathbb{R}^{n}$ et de $\mathbb{R}^{k}$ . $f:X\rightarrow Y$ est un difféomorphisme de classe $C^{p}$ ssi il existe $\phi :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{k}$ de classe $C^{p}$ tel que la restriction de $\phi $ à X soit f et si f est un homéomorphisme de X dans Y. \end{defn} \hfill{} \subsection{Espaces tangents} On suppose dorénavant que $M^{p}$ est une variété de dimension p. \begin{defn} Soit $M^{p}$ une sous-variété de $\mathbb{R}^{n}$ , et $x_{0}$ un point de $M^{p}$ , $\varphi $ une carte en $x_{0}$ . L'espace tangent (vectoriel) à $M$ en $x_{0}$ est l'espace vectoriel $d\varphi ^{-1}\left(0\right)\left(\mathbb{R}^{p}\times \left\{ 0\right\} \right)$ , noté $T_{x_{0}}M$ . L'espace affine tangent à M en $x_{0}$ est l'unique espace affine passant par $x_{0}$ et dirigé par $T_{x_{0}}M$ . On le note $\tilde{T}_{x_{0}}M$ . \end{defn} \hfill{} \begin{defn} Soient $M$ et $N$ deux sous-variétés respectivement de $\mathbb{R}^{n}$ et $\mathbb{R}^{p}$ , soit U un ouvert contenant $M$ et $f:U\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ telle que $f\left(M\right)\subset N$ , alors $d_{a}f:U\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ induit une application de $T_{a}M\rightarrow T_{f\left(a\right)}N$ appelée application tangente. \end{defn} \subsection{Orientation d'une variété} Orienter une variété, c'est orienter continûment chaque espace $T_{x}M$ . \begin{defn} On peut orienter une variété si on peut trouver un ensemble de cartes compatibles entre elles. C'est à dire que sur l'intersection de deux ouverts de cartes, l'application de changement de carte $\phi _{i}^{-1}\circ \phi _{j}$ a un jacobien positif ( $\phi _{i}$ est une carte locale ). \end{defn} \begin{rem} Demander un jacobien positif revient à demander qu'on ne change pas l'orientation du plan tangent. \hfill{} \end{rem} \subsection{Courbure totale d'une sous-variété de dim p dans $\mathbb{R}^{n}$ .} \begin{defn} Soit $M$ une variété fermée définie par un plongement f. On définit la courbure totale de $M$ , notée comme précédemment $\tau \left(M\right)$ , le réel \[ \tau \left(f\right)=\varepsilon _{L}\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)\] où \end{defn} \begin{itemize} \item L est une droite orientée passant par l'origine. (L définit donc une direction), \item $\varepsilon _{L}$ représente la valeur moyenne sur toutes les directions L, \item $\mu _{L}\left(\pi _{L}\circ f\right)$ est le nombre de points critiques de la fonction $\pi _{L}\circ f$ . \end{itemize} \section{quelques éléments de topologie algébrique} \subsection{Définitions et résultats utiles} \begin{defn} Soit $X$ un espace topologique. On définit un q-simplexe singulier $\sigma $ de $X$ comme une application de $\mathbb{R}^{\infty }$ dans $X$ telle que ses restrictions à $\mathbb{R}^{n}$ soient continues. \end{defn} \hfill{} \begin{defn} Soit K un anneau. $S_{q}$ est le K-module engendré par tous les q-simplexes, c'est à dire $S_{q}=\left\{ \sum _{\sigma }\mu _{\sigma }\sigma \, \, où\, \, \sigma \, \, est\, \, un\, \, q-simplexe,\, \, \mu _{\sigma }\in K\right\} $ . Un élément de $S_{q}$ s'appelle une chaîne de q-simplexes. \end{defn} \hfill{} \begin{defn} On appelle $\sigma ^{\left(i\right)}$ l'application {}``$i^{eme}$ face'' de $S_{q}$ dans $S_{q-1}$ telle que $\sigma ^{\left(i\right)}:\left(P_{0},\ldots ,P_{q}\right)\rightarrow \left(P_{0},\ldots ,P_{i-1},P_{i+1},\ldots ,P_{q}\right)$ . \end{defn} \hfill{} \begin{defn} On peut désormais définir le bord $\partial $ d'un q-simplexe comme une $\left(q-1\right)$-chaîne. $\partial \left(s\right)=\sum _{i=0}^{q}\left(-1\right)^{i}\sigma ^{\left(i\right)}\left(s\right)$ où $s\in S_{q}$ . On pose $\partial \left(P_{0}\right)=0$ . \end{defn} \hfill{} \begin{thm} $\partial \circ \partial =0$ \end{thm} \hfill{} \begin{defn} On peut définir alors\[ Z_{q}\left(X,K\right)=ker\left(\partial :S_{q}\rightarrow S_{q-1}\right)\] \[ B_{q}\left(X,K\right)=Im\left(\partial :S_{q+1}\rightarrow S_{q}\right)\] On pose $B_{0}\left(X,K\right)=0$ . \end{defn} \hfill{} \begin{defn} On appelle $q^{eme}$ K-module d'homologie singulière noté $H_{q}\left(X,K\right)$ le quotient $Z_{q}\left(X,K\right)/B_{q}\left(X,K\right)$ . \end{defn} \hfill{} \begin{defn} Deux applications f et g de $\Omega \rightarrow U$ sont homotopes s'il existe une application continue F de $\Omega \times \left[0,1\right]\rightarrow U$ telle que $F\left(w,0\right)=f\left(w\right)$ et $F\left(w,1\right)=g\left(w\right)$ . L'application F est appelée homotopie. \end{defn} \subsection{Nombres de Betti et caractéristique d'Euler} \begin{defn} Le $q^{eme}$ nombre de Betti est le nombre minimal de générateurs du K-module $H_{q}\left(X,K\right)$ et est couramment noté $\beta _{q}$ . \end{defn} \hfill{} \begin{defn} La caractéristique d'Euler est définie par $\chi \left(X\right)=\sum _{q}\left(-1\right)^{q}\beta _{q}\left(X,K\right)$ . \end{defn} \section{théorie de morse} \subsection{Un premier exemple} % \begin{figure*} \caption{Le tore et ses points critiques} \includegraphics[ scale=0.7]{/home/jim/Documents/Projet_math/index_gr_19.gif} \end{figure*} Nous allons prendre cette surface spécifique, ainsi comme une fonction particulier sur la surface, comme un petit modèle de ce que l'on va faire après sous un contexte beaucoup plus général. Soit $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ , qui dénote la fonction hauteur par rapport au plan tangent qui passe d'un coté du tore, et soit $M^{a}=\left\{ x\in M/f\left(x\right)\leqslant a\right\} $ . La fonction hauteur a quatre points critiques: $\left\{ p,q,r,s\right\} $ . Dans ce cadre on peut voir les choses suivants: \begin{enumerate} \item Si $a<0=f\left(p\right)$ , alors $M^{a}$ est vide. \item Si $f\left(p\right)