Vc pode fazer essa desigualdade por Cauchy: observe (SOMA{(sr(p_i^3))^2}).(SOMA{((sr(p_i))^2} >= (SOMA{sr(p_i^3).sr(p_i})^2 Mas o segundo fator do lado esquerdo é igual a SOMA(p_i)=1, e o resultado segue. Outra maneira seria observar que SOMA{p_i^3) = SOMA{p_i^3).SOMA{p_i) = SOMA(p_i^4) + SOMA(i != j){p_i^3.p_j).
Desenvolvendo o lado direito da desigualdade que vc quer mostrar e cancelando soma(p_i^4), vc vai querer que SOMA(i != j){p_i^3.p_j) >= 2.SOMA(i < j){p_i^2.p_j^2) Por média, p_i^3.p_j + p_i.p_j^3 >= 2p_i^2.p_j^2. Aih basta somar em i,j. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- >Oi Nicolau! > >E quanto ao problema quatro? Eu chamei de 0 < p_i < 1 a probabilidade de >sair a face i num lançamento, tendo-se SOMA{p_i} = 1. Eu desenvolvi um pouco >o problema e mostrei que ele era equivalente a demonstrar a desigualdades >SOMA{p_i^3} >= SOMA{p_i^2}^2 com igualdade sse todos p_i = 1/6. Não consegui >demonstrar esta desigualdade. Quando vale este primeiro passo? ;) Como se >demonstra esta desigualdade? > >Para quem não fez a prova, o enunciado era > >QUESTÃO 4. Um dado é lançado três vezes e o resultado das faces é a, b e >c. >Provar que P(a=c | a=b) >= P(a=c | a <> b) e que vale a igualdade se e >somente se o dado é honesto, ou seja, a probabilidade de cada face é 1/6. > >Abraço, Duda. > > >From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >> On Tue, Oct 21, 2003 at 08:58:16AM -0200, marcio.lis wrote: >> > Alguem poderia me informar alguma coisa sobre o q o >> > pessoal andou fazendo na obm U informações sobre as >> > soluções tbm seriam interessantes.Gostaria de saber se >> > no 3 oa cardinalidade de xp=(p^2+2p+2)^2 e se no caso >> > 2x2 ficap^2+2p+2. >> >> O problema 3, nível U, é de minha autoria. >> Repetindo o enunciado, devemos contar as matrizes quadradas A >> de tamanho 4x4 com coeficientes em Z/(p) que satisfazem A^2 = I (p > 2). >> >> Uma matriz A em K^(nxn), onde K é um corpo qq, >> satisfaz A^2 = I se e somente se K^n pode ser decomposto >> em dois subespaços U e V com interseção zero e soma K^n >> tais que A restrito a U (resp V) é a identidade (menos a id). >> >> Estes dois subespaços são os autoespaços associados aos autovalores 1 >e -1. >> Como o polinômio mínimo não tem raiz dupla, A é semisimples >(diagonalizável). >> >> O importante é notar que há uma bijeção natural entre matrizes >> satisfazendo A^2 = I e pares de subespaços U e V como acima. >> Neste ponto dá para contar na marra ou dá para saber ou criar >> um pouco mais de teoria. >> >> Na marra, você contaria para cada valor da dimensão de U. >> Temos 2 soluções triviais com dim U = 0 e dim U = 4 (-I e I). >> No caso dim U = 1, primeiro escolhemos U: há (p^4 - 1) geradores >> possíveis para U mas precisamos identificar vetores que são múltiplos >> constantes um do outro, ou seja, precisamos dividir por (p - 1) >> para concluir que há (p^3 + p^2 + p + 1) subespaços de dimensão 1. >> Escolha um subespaço complementar V_0 fixo qq: >> um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico >> de uma transformação linear de V_0 em U, >> ou seja, para cada U há (p^3) espaços complementares V. >> O caso dim U = 3 é análogo. >> Até aqui somamos 2 p^6 + 2 p^5 + 2 p^4 + 2 p^3 + 2 e falta o caso dim U >= >2. >> >> Para escolher um subespaço U de dim 2, vamos primeiro escolher uma base. >> Temos (p^4 - 1) escolhas para o primeiro vetor e (p^4 - p) escolhas >> para o segundo. Por outro lado, dado um subespaço de dim 2, >> quantas bases ele tem? Agora temos (p^2 - 1) escolhas para o primeiro >> vetor e (p^2 - p) escolhas para o segundo. Assim, o número de subespaços >U >é >> ((p^4 - 1)(p^4 - p))/((p^2 - 1)(p^2 - p)) = p^4 + p^3 + 2p^2 + p + 1. >> Novamente, para cada U escolha um complementar V_0 fixo qq: >> um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico >> de uma transformação linear de V_0 em U, >> ou seja, para cada U há (p^4) espaços complementares V. >> Ou seja, o caso dim U = 2 contribui com p^8 + p^7 + 2 p^6 + p^5 + p^4 >> e a resposta final do problema é >> >> p^8 + p^7 + 4 p^6 + 3 p^5 + 3 p^4 + 2 p^3 + 2 >> >> Para resolver o caso geral (em vez do caso 4x4), >> ajuda muito saber contar subespaços de dimensão b de F_q^a, >> onde q é uma potência de primo, F_q é o corpo finito de q elementos, >> e a e b são inteiros não negativos. Este problema é tão importante >> que a resposta tem nome, e escreve-se assim: >> >> ( a ) >> ( ) >> ( b )q >> >> ou seja, o símbolo de binomial com um q embaixo; eu vou escrever >binom(a,b;q). >> Lendo o que eu escrevi acima não é muito difícil concluir que >> >> (q^a - 1)(q^(a-1) - 1)(q^(a-2) - 1)...(q - 1) >> binom(a,b;q) = ---------------------------------------------------------- >> (q^b - 1)(q^(b-1) - 1)...(q - 1) (q^(a-b) - 1)...(q - >1) >> >> Não é muito difícil provar que isto é um polinômio em q com coeficientes >> inteiros não negativos. A notação talvez fique menos misteriosa observando >> que binom(a,b;1) = binom(a,b). Há outras interpretações para binom(a,b;q), >> o meu livrinho do colóquio (matemática quântica) pode servir como >referência. >> >> Voltando ao problema da OBM, a resposta do problema para matrizes nxn >> com coeficientes em F_q é >> >> somatório_k q^(k(n-k)) binom(n,k;q). >> >> Em particular, se n = 2 temos >> >> 1 + q (q+1) + 1 = q^2 + q + 2. >> >> No caso q = 2^k o início do problema quebra pois (x^2 - 1) = (x - 1)^2 >> em característica 2, ou seja, a matriz deixa de ser diagonalizável. >> O problema fica totalmente diferente. >> >> []s, N. >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > []'s, Yuri ICQ: 64992515 ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================