Re: [obm-l] Somatório
Somatorio y^x, com x variando de 0 a infinito = 1/(1-y). Imagine isso como funçao de y e derive. Somatorio x* [y^(x-1)], com x variando de 0 a infinito = 1/[(1-y)^2]. Multiplique por y. Somatorio x* (y^x), com x variando de 0 a infinito = y/[(1-y)^2]. Faça y = 1-p. Somatorio x* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/(p^2). Multiplique por p. Somatorio px* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/p. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thu, 20 May 2004 00:56:56 -0300 Subject: [obm-l] Somatório > Pessoal, > > Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança > de uma > v.a. geométrica. > > Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. > > Grato, > Henrique. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] esta indo ou não
Leandro, eu não recebi nenhuma prova. Vc pode enviar? Que tal tentar scannear? Será que vai ficado pesado?leandro-epcar <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Já mandei 6 provas do colegio naval e ninguem me deu retorno .Se alguém recebeu alguma prova me comunique..Valeu!!!__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Re:Provas do C.N
Não se preocupe que vou fazer de tudo para tornar essas provas públicas. Como vc pode enviar essas provas? O q é preciso?leandro-epcar <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Mando sem problema nenhum ,é só me garantirem que o material se tornará publico por meio da internet ou outros meios e me adiantarem a postagem.gostaria de eu mesmo torna publico esta 'preciosa'mas como tambem estou me preparando não tenho tento para digita-las-- Início da mensagem original ---De: [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED]Cc: Data: Wed, 19 May 2004 13:34:32 -0300 (ART)Assunto: Re: [obm-l] Re:Provas do C.N> Leandro, será q vc tbm poderia enviar pra mim estas apostilas? Eu dou aula pra alguns alunos q vão fazer a prova do cn e seria interessante este material! > Eu preciso dar meu endereço p vc e tentar descobrir como pagar as despesas postais. > Se vc puder enviar estas provas eu agradeceria. > Um abraço> > leandro-epcar <[EMAIL PROTECTED]>wrote:> Velho ,vou te mandar uma xerox do livro do > manuel "colegio naval 52 a 66 " , mas como voçê vai > pagar as despesas,NÃO ENTENDO COMPO FUNCIONA O CORREIO> > LEANDRO GERALDO DA COSTA > COLEGIO:ESCOLA TECNICA PANDIA CALOGERAS > BARRA MANSA > TEL :024 33261039> > -- Início da mensagem original ---> > De: "Alves Dias" [EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED]> Cc: > Data: Tue, 18 May 2004 10:15:25 -0300> Assunto: Provas do C.N> > > Caro Leandro, eu gostaria de obter as provas de > matematica do colegio naval que vc tem, obrigado.> > Jose Aurimenes alves Dias> > Rua General Roca 460 casa 09 apt. 101> > Tijuca RJ> > CEP. 20521-070> > > > obs. pagarei as despesas!> > AURI> > > > __> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.> AntiPop-up UOL - É grátis!> http://antipopup.uol.com.br/> > > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> => > > -> Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!___Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Somatório
Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exponencial
Valeu Rogerio! vou refazer aqui! Abraços!
- Original Message -
From: "Rogério Moraes de Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, May 19, 2004 1:54 AM
Subject: RE: [obm-l] Exponencial
> Olá Fábio,
>
> Ficou muito difícil entender a questão com esta explicação da
> notação no meio do enunciado. De qualquer modo, eu já havia resolvido esta
> questão anteriormente.
>
> Segue o enunciado e uma resolução possível.
>
> ENUNCIADO:
> Resolva no campo dos reais a seguinte equação exponencial:
> 3^(x^2 + 1/x^2) = 81/3^(x + 1/x)
>
> RESOLUÇÃO:
> Condição de existência: x != 0
>
> Fazendo y = x + 1/x, teremos:
> y^2 = (x + 1/x)^2 => y^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 => x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2
>
> Portanto, representando a equação exponencial em função de y, teremos:
> 3^(y^2 - 2) = 3^4/3^y <=> 3^(y^2 - 2) = 3^(4 - y) <=> y^2 - 2 = 4 - y <=>
> y^2 + y - 6 = 0 <=> y = -3 ou y = 2
>
> Para y = -3:
> x + 1/x = -3 <=> x^2 + 3x + 1 = 0 <=> x = [-3-sqr(5)]/2 ou x =
[-3+sqr(5)]/2
>
> Para y = 2:
> x + 1/x = 2 <=> x^2 - 2x + 1 = 0 <=> (x - 1)^2 = 0 <=> x = 1
>
> Todas as soluções satisfazem a condição de existência.
>
> Resposta: S = {[-3-sqr(5)]/2, [-3+sqr(5)]/2, 1}
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
>
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
> Behalf Of Fabio Contreiras
> Sent: sexta-feira, 14 de maio de 2004 23:00
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Exponencial
>
> Tentei sair dessa equação mas naum deu em nada... alguem tem o bizu aih
hehe
> , Abraços!
> Fabio
>
>
> 3^x^2 ( 3 elevado à x ao quadrado ) + 1 / x^2 = { 81 / 3^[(x+1/x)] }
>
>
>
> Valeu desde já!
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] esta indo ou não
Nao recebi nao! - Original Message - From: "leandro-epcar" <[EMAIL PROTECTED]> To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, May 19, 2004 6:44 PM Subject: [obm-l] esta indo ou não > Já mandei 6 provas do colegio naval e ninguem me deu > retorno . > Se alguém recebeu alguma prova me comunique.. > > Valeu!!! > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] LANCE INICIAL!
Turma! A discussão à respeito do probleminha dos monges foi perfeita e melhor ainda foi a prova matemática proposta pelo Artur, que aliás, eu desconhecia. Ok! Dois amigos apostaram a conta do restaurante da seguinte maneira: um dizia qualquer número de 1 a 10 (inclusive ambos). Em seguida o outro somava a ele qualquer número do mesmo intervalo. Depois o primeiro somava ao total outro número, sempre do mesmo intervalo, e assim alternadamente. O primeiro que chegasse exatamente ao número 100, valor da conta, ganharia a aposta. Quem poderia vencer com certeza? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Artur Costa Steiner wrote: Basta supor que são dois monges (um subindo e outro descendo) andando no mesmo dia. Se o proposto não ocorresse, então os monges conseguiriam a façanha de subir pela mesma trilha sem se encontrar. Por que essa prova não é matematicamente correta? Ela parece perfeita pra mim. Bomnaum podemos provar fatos matematicos apelando apenas para a intuicao, utilizando argumentos do tipo "eh claro que tem que se assim", "naum hah como os dois monges naum se encontrarem", e por aih afora. A matematica, como ciencia eminentemente logica, exige provas formais e logicamente consistentes. E eh sempre bom lembrar que aas vezes a intuicao falha. Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome "façanha" pra "teorema do valor intermediário". Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Ricardo Bittencourt wrote: Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome "façanha" pra "teorema do valor intermediário". Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Aliás deixe eu colocar a dúvida de outra maneira: se fosse essa uma questão de olimpíada, a resposta do Will seria aceita ou não? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
--- Will <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > - Original Message - > From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]> > > Por que essa prova não é matematicamente correta? > Ela parece perfeita pra mim. > > > Ricardo, o que o Artur quer dizer é que, para > resolver esse problema do > ponto de vista de análise (não pensando mais em > monges e montanhas, mas em > funções e intervalos) não dá para responder assim, > no gogó. Eh exatamente isto. A matematica exige consistencia logica. Isto nao significa que, na vida diaria, nao possamos recorrer ao "bom senso", mas isto tem que ser feito com cuidado, pois as vezes as aparencias enganam. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Domains Claim yours for only $14.70/year http://smallbusiness.promotions.yahoo.com/offer = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] colegio naval
colegio naval 93 Sabe-se que a equação do primeiro grau na variável 'X' :2MX-X+5=3PX-2M+P admite as raízes 2^1/3 + 3^1/2 e3^1/3 + 2^1/2.entre os parametros M e P vale a relação (A) P^2 + M ^2 (B) PM = 6 (C) M^P=64 (D) P^M=32 (E) P/M=3/5 === Desta vez tomei cuidado em passar as questoes . === Eu não estou compreendendo como uma equação do primeiro grau tem duas raízes .Se alguen souber pode "por favor" me explicar ou caso tenha uma incoerencia no enunciado desconsiderem a equação e me desculpem. Usando o teorema dos polinômios iguais teremos que a 2MX-X+5=3PX-2m+P podemos transformar num sistema |= |(2M-1)X + 5=0 |(3P)X-2M+p=0 |=== teremos que 2M-1=3P e 5=P-2M P = -3 e M =-4 = e substituindo os valores de M e P na equação não aparece as raízes do enunciado. Agradeço desde já LEANDRO GERALDO DA COSTA colegio naval 93 Considere a equaçâo do primeiro grau em X : M^2X^3=M+9X pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se: (A) m=3 (B) m=-3 (C) m diferente de -3 (D) m diferente de 3 (E) m difernte de 3 e de -3 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAGCO!
Seja f a funcao que, a cada instante do tempo t, 0<=t<=24 (supondo-se t em horas), associe a distancia a que o monge, no dia em que sobe a montanha, está do sopé. Das condicoes dadas, temos que f(0) =0 e f(24) = L, sendo L a distancia do sopé ao cume, medida sobre a trajetoria que o moge descreve. Seja g a funcao similar para o dia em que o monge desce a montanha, supondo-se mais uma vez que a distancia eh medida com relacao ao sope. Temos entao que g(0) = L e g(24) =0. Supondo-se que f e g sao continuas em [0, 24] - o que eh razoavel, pois o monge nunca vai dar saltos instantaneos de um ponto para outro -temos que f- g eh tambem continua em [0, 24]. Como f(0) - g(0) = -L<0 e f(24) - g(24) = L>0, o teorema do valor intermediario nos garante a existencia de um tempo t* no qual f(t*)- g(t*) = 0 => f(t*) = g(t*) -- exatamente o que desejamos provar. Artur --- Wellington <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Voce poderia me mostrar essa outra prova? Gostaria > muito de vê-la. __ Do you Yahoo!? SBC Yahoo! - Internet access at a great low price. http://promo.yahoo.com/sbc/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] esta indo ou não
Já mandei 6 provas do colegio naval e ninguem me deu retorno . Se alguém recebeu alguma prova me comunique.. Valeu!!! __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAGCO!
>Como f(0) - g(0) = -L<0 e f(24) - g(24) = L>0, o >teorema do valor intermediario nos garante a >existencia de um tempo t* no qual f(t*)- g(t*) = 0 => >f(t*) = g(t*) -- exatamente o que desejamos provar. Ah, faltou dizer que o t. do v. intermediario garante a existencia deste t* no intervalo [0, 24], o que realmente prova o desejado. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
>>Basta supor que são dois monges (um subindo e outro
>>descendo) andando no
>>mesmo dia.
>>Se o proposto não ocorresse, então os monges
>>conseguiriam a façanha de subir
>>pela mesma trilha sem se encontrar.
>
> Esta prova intuitiva eh sem duvida interessante e
> engenhosa. Mas a prova matematicamente correta envolve
> o conceito de continuidade de funcoes em intervalos
> fechados.
>Por que essa prova não é matematicamente correta?
>Ela parece perfeita pra mim.
Bomnaum podemos provar fatos matematicos apelando apenas para a
intuicao, utilizando argumentos do tipo "eh claro que tem que se assim",
"naum hah como os dois monges naum se encontrarem", e por aih afora. A
matematica, como ciencia eminentemente logica, exige provas formais e
logicamente consistentes. E eh sempre bom lembrar que aas vezes a intuicao
falha.
Quem, por exemplo, estuda teoria dos conjuntos, certamente viu uma prova
formal de que se 2 conjuntos sao equivalentes a um mesmo segmento inicial de
N, isto eh, a um conjunto do tipo {1,2,n}, entao eles tem a mesma
cardinalidade, isto eh, o mesmo numero de elementos. Negar este fato pode
parecer simplesmente ridiculo, pois eh o mesmo que afirmar que eh possivel
que duas pessoas contem quantas bolas existem numa caixa e cheguem a 2
resultados distintos, sendo ambos corretos!! Mas na Matematica hah uma prova
formal deste fato (que naum eh lah tao trivial e vai bem alem do "tem que
ser assim") e, do ponto de vista de consistencia logica, eh fundamental que
ela exista.
Artur
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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-- Início da mensagem original --- De: "leandro-epcar" leandro- [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 19 May 2004 18:13:29 -0300 Assunto: colegio naval colegio naval 93 Sabe-se que a equação do primeiro grau na variável 'X' :2MX-X+5=3PX-2M+P admite as raízes 2^1/3 + 3^1/2 e3^1/3 + 2^1/2.entre os parametros M e P vale a relação (A) P^2 + M ^2=25 (B) PM = 6 (C) M^P=64 (D) P^M=32 (E) P/M=3/5 === Desta vez tomei cuidado em passar as questoes . === Eu não estou compreendendo como uma equação do primeiro grau tem duas raízes .Se alguen souber pode "por favor" me explicar ou caso tenha uma incoerencia no enunciado desconsiderem a equação e me desculpem. Usando o teorema dos polinômios iguais teremos que a 2MX-X+5=3PX-2m+P podemos transformar num sistema |= |(2M-1)X + 5=0 |(3P)X-2M+p=0 |=== teremos que 2M-1=3P e 5=P-2M P = -3 e M =-4 = e substituindo os valores de M e P na equação não aparece as raízes do enunciado. Agradeço desde já LEANDRO GERALDO DA COSTA colegio naval 93 Considere a equaçâo do primeiro grau em X : M^2X^3=M+9X pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se: (A) m=3 (B) m=-3 (C) m diferente de -3 (D) m diferente de 3 (E) m difernte de 3 e de -3 == esta tambem não estou compreendendo o enunciado,como uma equaçao do primeiro grau pode ter X com expoente 3 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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-- Início da mensagem original --- De: "leandro-epcar" leandro- [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 19 May 2004 18:17:25 -0300 Assunto: En:colegio naval -- Início da mensagem original --- De: "leandro-epcar" leandro- [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 19 May 2004 18:13:29 -0300 Assunto: colegio naval colegio naval 93 Sabe-se que a equação do primeiro grau na variável 'X' :2MX-X+5=3PX-2M+P admite as raízes 2^1/3 + 3^1/2 e3^1/3 + 2^1/2.entre os parametros M e P vale a relação (A) P^2 + M ^2=25 (B) PM = 6 (C) M^P=64 (D) P^M=32 (E) P/M=3/5 === Desta vez tomei cuidado em passar as questoes . === Eu não estou compreendendo como uma equação do primeiro grau tem duas raízes .Se alguen souber pode "por favor" me explicar ou caso tenha uma incoerencia no enunciado desconsiderem a equação e me desculpem. Usando o teorema dos polinômios iguais teremos que a 2MX-X+5=3PX-2m+P podemos transformar num sistema |= |(2M-1)X + 5=0 |(3P)X-2M+p=0 |=== teremos que 2M-1=3P e 5=P-2M P = -3 e M =-4 = e substituindo os valores de M e P na equação não aparece as raízes do enunciado. Agradeço desde já LEANDRO GERALDO DA COSTA colegio naval 93 Considere a equaçâo do primeiro grau em X : M^2X^3=M+9X pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se: (A) m=3 (B) m=-3 (C) m diferente de -3 (D) m diferente de 3 (E) m difernte de 3 e de -3 == esta tambem não estou compreendendo o enunciado,como uma equaçao do primeiro grau pode ter X com expoente 3 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] En:colegio naval
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[obm-l] En:colegio naval
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
- Original Message - From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]> Por que essa prova não é matematicamente correta? Ela parece perfeita pra mim. Ricardo, o que o Artur quer dizer é que, para resolver esse problema do ponto de vista de análise (não pensando mais em monges e montanhas, mas em funções e intervalos) não dá para responder assim, no gogó. O caso é que, pela informalidade do enunciado, cabe dar uma resposta informal. Por isso talvez você (e eu) não tenha problema com a resposta que eu dei. Entretanto, se o problema fosse o seguinte. Considere f e g funções contínuas de [a,b] em R, tal que f(b) = g(a) e f(b)=g(a) . Prove que existe algum c em [a,b] tal que f(c)=g(c) . Daí eu vou lá digo: Ah, função contínua é só não tirar o lápis do papel, é claro que f e g vão se cruzar em algum ponto, senão não ia dar certo ! Bom, foi mais ou menos o que eu disse quando falei que o fato dos monges caminharem na mesma trilha era suficiente para que eles se encontrassem. Isso não é argumento suficiente para provar um fato de Análise, embora seja o bastante para agradar a nossa intuição. Mas voltando ao problema original, acho que solução tosca é digna do enunciado :-) Abraço Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma...
Sauda,c~oes,
Tem sim.
Seja a_i o termo geral de uma PA de
ordem k. Então
S_n^[k] = sum_{i=1}^n a_i =
Delta^k a_1 binom{n}{k+1} +
Delta^{k-1}a_1 binom{n}{k} +
. Delta a_1 binom{n}{2} +
a_1 binom{n}{1}
Ex.: 1+3+19+61+141+271+ ... (PA de ordem k).
Construa a tabela
a_i 1 3 19 61 141271
D a_i 216 42 80130
D^2 a_i14 26 38 50
D^3 a_i 12 12 12(k=3)
S_n^[3] = D^3 a_1 binom{n}{4} +
D^2 a_1 binom{n}{3} + D a_1 binom{n}{2} +
a_1 binom{n}{1} =
12 binom{n}{4} + 14 binom{n}{3} +
2 binom{n}{2} + n =
n(3n^3 - 4n^2 - 3n + 10) / 6.
Use a fórmula para 1^3 + 2^3 + 3^3 + n^3.
Não me lembro de onde tirei a fórmula geral.
Veja um livro de métodos numéricos.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet"
<[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: quarta-feira, 19 de maio de 2004 14:27
Assunto: RE: [obm-l] Soma...
> Ola turma!
> Eu tenho ca uma pergunta: existe uma formula
> fechada para as somas das k-esimas potencias,
> sem, digamos, saber o k particular?
> Melhor falando: dada a funçao f(k,n)= soma das
> k-esimas potencias dos n primeiros inteiros
> positivos, exprima f como uma formula fechada.
>
=
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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
--- Will <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Basta supor que são dois monges (um subindo e outro > descendo) andando no > mesmo dia. > > Se o proposto não ocorresse, então os monges > conseguiriam a façanha de subir > pela mesma trilha sem se encontrar. Esta prova intuitiva eh sem duvida interessante e engenhosa. Mas a prova matematicamente correta envolve o conceito de continuidade de funcoes em intervalos fechados. Artur __ Do you Yahoo!? SBC Yahoo! - Internet access at a great low price. http://promo.yahoo.com/sbc/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
Artur Costa Steiner wrote: Basta supor que são dois monges (um subindo e outro descendo) andando no mesmo dia. Se o proposto não ocorresse, então os monges conseguiriam a façanha de subir pela mesma trilha sem se encontrar. Esta prova intuitiva eh sem duvida interessante e engenhosa. Mas a prova matematicamente correta envolve o conceito de continuidade de funcoes em intervalos fechados. Por que essa prova não é matematicamente correta? Ela parece perfeita pra mim. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Análise_I
> On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco
> medeiros wrote:
> > Não existe uma função real (i.e., de R em R)
> contínua que transforme
> > todo número racional num irracional e vice-versa.
>
Naum sei se jah responderam aa sua pergunta
(provavelmente jah), passei uns dias sem poder olhar a
lista. Mas uma forma de mostrarmos o resultado
desejado eh considerarmos o fato, consequencia do
Teorema de Baire, de que o conjunto dos irracionais
nao eh F-sigma, isto eh, naum pode ser dado por uma
uniao enumeravel de conjuntos fechados de R.
Supondo-se que exista uma funcao f conforme a
especificada, temos pelas hipoteses feitas que I =
f^(-1)(Q), isto eh, os irracionais sao a imagem
inversa dos racionais sob a funcao f. Temos ainda que,
por ser enumeravel, Q ={q_1,...q_n...} = Uniao {q_n}.
Conforme sabemos, cada {q_n} eh um fechado com
interior vazio. As propriedades da imagem inversa de
funcoes leva-nos entao a que I = Uniao f^(-1)({q_n}, e
a continuidade de f implica que cada f^(-1)({q_n})
seja fechado em R. Concluimos assim que I eh F-sigma,
condicao a que I, comprovadamente, naum satisfaz.
Desta contradicao concluimos que naum existe uma
funcao com as caracteristicas dadas.
Eh facil ver que I nao pode ser F-sigma. Inicialmente,
verificamos que, por ser enumeravel, Q eh "magro" (em
R, assim como em todo espaco metrico completo que naum
contenha pontos isolados, conjuntos enumeraveis sao
sempre magros, isto eh, sao dados por uma uniao
enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior
vazio). Como R nao eh magro (eh um aberto nao vazio em
um espaco de Baire) e R = Q Uniao I, temos que I nao
pode ser magro, ou R tambem o seria (unioes
enumeraveis ou finitas de conjuntos magros sao
magras). Se I for dado por uma uniao enumeravel {F_n}
de fechados, entao, como I tem interior vazio, o mesmo
necessariamente sucede para todos os F_n (se um deles
contivesse um aberto nao vazio, entao a uniao deles
tambem conteria este aberto e, desta forma, nao
poderia se igualar a I). Como cada F_n, por ser
fechado, confude-se com o seu fecho, concluimos que I
eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos
fechos tem interior vazio. Logo, I eh magro,
contradizendo o fato que anteriormente demonstramos.
Temos, portanto, que I nao eh F-sigma.
Artur
__
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Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Análise_I
> On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco
> medeiros wrote:
> > Não existe uma função real (i.e., de R em R)
> contínua que transforme
> > todo número racional num irracional e vice-versa.
>
Naum sei se jah responderam aa sua pergunta
(provavelmente jah), passei uns dias sem poder olhar a
lista. Mas uma forma de mostrarmos o resultado
desejado eh considerarmos o fato, consequencia do
Teorema de Baire, de que o conjunto dos irracionais
nao eh F-sigma, isto eh, naum pode ser dado por uma
uniao enumeravel de conjuntos fechados de R.
Supondo-se que exista uma funcao f conforme a
especificada, temos pelas hipoteses feitas que I =
f^(-1)(Q), isto eh, os irracionais sao a imagem
inversa dos racionais sob a funcao f. Temos ainda que,
por ser enumeravel, Q ={q_1,...q_n...} = Uniao {q_n}.
Conforme sabemos, cada {q_n} eh um fechado com
interior vazio. As propriedades da imagem inversa de
funcoes leva-nos entao a que I = Uniao f^(-1)({q_n}, e
a continuidade de f implica que cada f^(-1)({q_n})
seja fechado em R. Concluimos assim que I eh F-sigma,
condicao a que I, comprovadamente, naum satisfaz.
Desta contradicao concluimos que naum existe uma
funcao com as caracteristicas dadas.
Eh facil ver que I nao pode ser F-sigma. Inicialmente,
verificamos que, por ser enumeravel, Q eh "magro" (em
R, assim como em todo espaco metrico completo que naum
contenha pontos isolados, conjuntos enumeraveis sao
sempre magros, isto eh, sao dados por uma uniao
enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior
vazio). Como R nao eh magro (eh um aberto nao vazio em
um espaco de Baire) e R = Q Uniao I, temos que I nao
pode ser magro, ou R tambem o seria (unioes
enumeraveis ou finitas de conjuntos magros sao
magras). Se I for dado por uma uniao enumeravel {F_n}
de fechados, entao, como I tem interior vazio, o mesmo
necessariamente sucede para todos os F_n (se um deles
contivesse um aberto nao vazio, entao a uniao deles
tambem conteria este aberto e, desta forma, nao
poderia se igualar a I). Como cada F_n, por ser
fechado, confude-se com o seu fecho, concluimos que I
eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos
fechos tem interior vazio. Logo, I eh magro,
contradizendo o fato que anteriormente demonstramos.
Temos, portanto, que I nao eh F-sigma.
E como uma corolario de tal fato, temos que Q naum eh
G-delta (dado por uma interseccao enumeravel de
conjuntos abertos). Se Q fosse G-delta, as leis de De
Morgan implicariam que I = complementar de Q fosse
F-sigma, o que, como vimos, naum ocorre.
Artur
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Re: [obm-l] Re:Provas do C.N
Mando sem problema nenhum ,é só me garantirem que o material se tornará publico por meio da internet ou outros meios e me adiantarem a postagem. gostaria de eu mesmo torna publico esta 'preciosa'mas como tambem estou me preparando não tenho tento para digita-las -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 19 May 2004 13:34:32 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Re:Provas do C.N > Leandro, será q vc tbm poderia enviar pra mim estas apostilas? Eu dou aula pra alguns alunos q vão fazer a prova do cn e seria interessante este material! > Eu preciso dar meu endereço p vc e tentar descobrir como pagar as despesas postais. > Se vc puder enviar estas provas eu agradeceria. > Um abraço > > leandro-epcar <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Velho ,vou te mandar uma xerox do livro do > manuel "colegio naval 52 a 66 " , mas como voçê vai > pagar as despesas,NÃO ENTENDO COMPO FUNCIONA O CORREIO > > LEANDRO GERALDO DA COSTA > COLEGIO:ESCOLA TECNICA PANDIA CALOGERAS > BARRA MANSA > TEL :024 33261039 > > -- Início da mensagem original --- > > De: "Alves Dias" [EMAIL PROTECTED] > Para: [EMAIL PROTECTED] > Cc: > Data: Tue, 18 May 2004 10:15:25 -0300 > Assunto: Provas do C.N > > > Caro Leandro, eu gostaria de obter as provas de > matematica do colegio naval que vc tem, obrigado. > > Jose Aurimenes alves Dias > > Rua General Roca 460 casa 09 apt. 101 > > Tijuca RJ > > CEP. 20521-070 > > > > obs. pagarei as despesas! > > AURI > > > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > > - > Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma...
Generalizando o que vc fez, concluimos que 1^2 + n^2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6. Uma vez que jah tenhamos conhecimento desta formula, basta entra com n. Mas o processo basico eh de fato uma generalizacao do seu.Atraves de um processo recursivo similar, podemos tambem demonstrar que a soma das potências inteiras de ordem p>=1 dos n primeiros naturais eh dada por um polinomio em n de grau p+1.Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] Soma...Data: 19/05/04 01:34Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+..+10^2?Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito,2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^13^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1--11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando convenientemente 3*1^2+3*2^2++3*10^2. descubro S. Minha pergunta é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de quadrados perfeitos?? Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento. Crom OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Soma...
Ola turma! Eu tenho ca uma pergunta: existe uma formula fechada para as somas das k-esimas potencias, sem, digamos, saber o k particular? Melhor falando: dada a funçao f(k,n)= soma das k-esimas potencias dos n primeiros inteiros positivos, exprima f como uma formula fechada. --- Rogério_Moraes_de_Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá Crom, > > Muitos livros de Matemática apresentam uma > possível dedução da > fórmula da soma das potências k-ésimas (k > inteiro positivo) dos n primeiros > inteiros positivos pelo método que você > apresentou parcialmente, ou seja, > usando o desenvolvimento do binômio de Newton > (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o > somatório com x variando de 1 até n a ambos os > membros da igualdade, os > termos de grau (k + 1) podem ser cancelados, > com exceção de (n + 1)^(k + 1) > no primeiro membro da igualdade e 1^(k + 1) = 1 > no segundo membro da > igualdade. Porém, para descobrir a fórmula da > soma das potências k-ésimas, > nós precisamos conhecer todas as fórmulas das > somas das potências com > expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós > encontramos uma fórmula de > recorrência para deduzir a soma das potências > k-ésimas dos n primeiros > inteiros positivos, porém o processo vai > ficando muito longo à medida que os > expoentes vão crescendo. > > A seguir, eu apresento um método que pode ser > utilizado para > encontrar a soma das potências k-ésimas dos n > primeiros inteiros positivos > de forma direta. Neste método, não há a > necessidade de se conhecer as > fórmulas das somas das potências com expoente > de 1 até (k - 1) > > > DEDUÇÃO POSSÍVEL: > > Seja S[n] o polinômio que representa a soma > dos quadrados dos n > primeiros inteiros positivos, então podemos > concluir que: > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 > (i) > > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, > uma vez que na diferença S[n] > - S[n - 1] os termos de maior grau dos > polinômios vão ser cancelados. Sendo > assim, podemos escrever: > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d > O termo independente é 0, uma vez que S[0] não > possui termos. Portanto, d = > 0. > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii) > > Substituindo a (ii) na (i): > a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 > - c.(n - 1) = n^2 > 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2 > 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2 > > Pela identidade de polinômios, devemos ter: > 3a = 1 <=> a = 1/3 > 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 > a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6 > > Substituindo a, b e c no polinômio (ii): > S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6 > > Fatorando: > S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6 > S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6 > > S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 > > Para o caso particular do problema apresentado, > teremos: > S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385 > > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > > From: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of [EMAIL PROTECTED] > Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: [obm-l] Soma... > > Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.+10^2? > Usei para resolver esse problema a identidade > (x+1)^3. Com efeito, > 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1 > 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1 > -- > 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando > convenientemente > 3*1^2+3*2^2++3*10^2. descubro S. Minha > pergunta é: Existe um modo mais > fácil de se achar soma de quadrados perfeitos?? > Quem souber e puder responder, deixo > meu agradecimento. >Crom > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro de eq Diferenciais...[OFF-TOPIC]
On Wed, May 19, 2004 at 01:34:16PM -0300, niski wrote: > De fato os livros do impa tem qualidade internacional. Mas sao poucos, > muito, mas muito, muito muito muito muito, mas muito muito mesmo, > exagerdamente muito, muitissimo muito poucos titulos publicados em > relacao ao que o pais precisa. > Só para ilustrar, vá na amazon e procure por livros com a palavra > Stochastic. Vai apresentar 7886 livros (Lembre-se que poderia ter > procurado tb por Random...somando teriamos um numero ainda maior). Faça > o mesmo na livraria cultura e digite Estocástico. Functional analysis > na amazon retorna milhares. No Brasil só vi livro disso escrito pelo > Chaim Samuel Honig. Nao sei se o impa tb produziu algum livro a > respeito. O fato que é o mercado de livros desse porte no brasil é > ridiculo, poucos livros nacionais e os importados tem taxa proibitiva, > acho que a propriedade intelectual é algo muito importante e deve ser > respeitada, mas dada as condicoes, a minha opiniao é que devemos > arregaçar a manga e estudar mesmo que na "ilegalidade" já que nao temos > apoio algum de ninguem. Não vou comentar sobre o tema principal deste thread, que aliás é declaradamente off-topic. Quero só lembrar que a defesa de práticas ilegais nesta lista pode gerar complicações para o funcionamento da lista ou para pessoas que não têm nada a ver com a ilegalidade sendo cometida. Tudo isso vale independentemente da lei ser justa ou não. Se alguém desejar lutar por mudanças na legislação o lugar não é aqui e a maneira não é esta. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro de eq Diferenciais...[OFF-TOPIC]
De fato os livros do impa tem qualidade internacional. Mas sao poucos, muito, mas muito, muito muito muito muito, mas muito muito mesmo, exagerdamente muito, muitissimo muito poucos titulos publicados em relacao ao que o pais precisa. Só para ilustrar, vá na amazon e procure por livros com a palavra Stochastic. Vai apresentar 7886 livros (Lembre-se que poderia ter procurado tb por Random...somando teriamos um numero ainda maior). Faça o mesmo na livraria cultura e digite Estocástico. Functional analysis na amazon retorna milhares. No Brasil só vi livro disso escrito pelo Chaim Samuel Honig. Nao sei se o impa tb produziu algum livro a respeito. O fato que é o mercado de livros desse porte no brasil é ridiculo, poucos livros nacionais e os importados tem taxa proibitiva, acho que a propriedade intelectual é algo muito importante e deve ser respeitada, mas dada as condicoes, a minha opiniao é que devemos arregaçar a manga e estudar mesmo que na "ilegalidade" já que nao temos apoio algum de ninguem. Claudio Buffara wrote: Eu nao conheco o Boyce-DiPrima e tambem nao conheco o livro Equacoes Diferenciais Aplicadas do Djairo Figueiredo e Aloisio Neves, para o qual estou incluindo o "link" abaixo, mas conheco o livro de EDP do Djairo e acho que nao deve nada a nenhum livro estrangeiro. Alem disso, por 20 pratas (R$) acho que melhor custo-beneficio nao existe. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] "Now I will have less distraction" Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:Provas do C.N
Leandro, será q vc tbm poderia enviar pra mim estas apostilas? Eu dou aula pra alguns alunos q vão fazer a prova do cn e seria interessante este material! Eu preciso dar meu endereço p vc e tentar descobrir como pagar as despesas postais. Se vc puder enviar estas provas eu agradeceria. Um abraçoleandro-epcar <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Velho ,vou te mandar uma xerox do livro do manuel "colegio naval 52 a 66 " , mas como voçê vai pagar as despesas,NÃO ENTENDO COMPO FUNCIONA O CORREIOLEANDRO GERALDO DA COSTA COLEGIO:ESCOLA TECNICA PANDIA CALOGERAS BARRA MANSA TEL :024 33261039-- Início da mensagem original ---De: "Alves Dias" [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED]Cc: Data: Tue, 18 May 2004 10:15:25 -0300Assunto: Provas do C.N> Caro Leandro, eu gostaria de obter as provas de matematica do colegio naval que vc tem, obrigado.> Jose Aurimenes alves Dias> Rua General Roca 460 casa 09 apt. 101> Tijuca RJ> CEP. 20521-070> > obs. pagarei as despesas!> AURI> __Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] ITA-95
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 "Márcio Barbado Jr." <[EMAIL PROTECTED]> said: > Senhores (as) > > Estava analisando o material do cursinho Etapa, no que se refere a > resolucao da prova de matemática do vestibular do ITA (ano 1995). Tenho ca > comigo duvidas acerca da veracidade das afirmações contidas naquele > material, entretanto posso ter esquecido algum teorema que venha a me > calar. Vejam se podem me ajudar, aqui vai o enunciado (logo em seguida > comentarei onde estou tropeçando). E a questao numero 9: > [...] > Daí vem minha duvida, que e a segunda afirmação ali contida. Sem > mais nem menos, o texto afirma que, "SE 5^(1/2) É RAIZ, ENTAO -5^(1/2) > TAMBEM E". > Deste ponto adiante, a apostila usa a primeira relação de GIRARD e > voila!... > > Vejam bem: De fato "-5^(1/2)" será raiz! O problema e a afirmação de > que se lancou mão. > > De forma bastante clara, minha duvida e: A ultima afirmação esta > certa? Por que? Ou por que nao? > [...] Sim, ela está certa. De uma maneira geral, se um polinômio com coeficientes inteiros admite a raiz a + sqrt(b), então ele também admite a - sqrt(b) como raiz. A demonstração é exatamente a mesma que é utilizada para demonstrar que x + yi é raiz <=> x - yi é raiz (de fato, este é um caso particular do caso acima, onde b = -y^2). []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAq3sHalOQFrvzGQoRAiQPAKDeDyymuMj2ydnO+TWSKkCrXB2PpACgszH9 ft7A6e4Lxg3S5kBD2Cqk4D4= =Hgv+ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA-95
Em 19 May 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, meu nome e saulo, sou engenheiro aeronautico pelo ITA, a ultima afirmação esta correta sim, e so vc substituir as duas raízes na equação do polinomio obtendo duas equações , uma para raiz de 5 e outra para menos raiz de 5 e somar as duas obtendo zero, como raiz de 5 e zero, logo a outra equação tem que ser zero, provando que menos raiz de 5 tambem e raiz, isso pode ser generalizado para um polinomio qualquer. Um abraço, saulo. >Senhores (as) > > Estava analisando o material do cursinho Etapa, no que se refere a >resolucao da prova de matemática do vestibular do ITA (ano 1995). Tenho ca >comigo duvidas acerca da veracidade das afirmações contidas naquele >material, entretanto posso ter esquecido algum teorema que venha a me calar. >Vejam se podem me ajudar, aqui vai o enunciado (logo em seguida comentarei >onde estou tropeçando). E a questao numero 9: > > > Sabendo-se que 4 + i*2^(1/2) e 5^(1/2) são raizes do polinômio >2x^5 - 22x^4 + 74x^3 + 2x^2 - 420x + 540, entao qual e a soma dos quadrados >de todas as raízes reais? >RESP.: 19 > > >A primeira afirmação da apostila me e conhecida: SE 4 + i * 2^(1/2) É RAIZ, >ENTÃO SEU CONJUGADO TAMBEM SERA RAIZ. >Ate ai tudo bem, isso decorre do fato de todos os coeficientes serem reais. >Portanto, neste ponto já teríamos 3 raizes. > > Daí vem minha duvida, que e a segunda afirmação ali contida. Sem >mais nem menos, o texto afirma que, "SE 5^(1/2) É RAIZ, ENTAO -5^(1/2) >TAMBEM E". >Deste ponto adiante, a apostila usa a primeira relação de GIRARD e voila!... > > Vejam bem: De fato "-5^(1/2)" será raiz! O problema e a afirmação de >que se lancou mão. > > De forma bastante clara, minha duvida e: A ultima afirmação esta >certa? Por que? Ou por que nao? > > Muito obrigado por vossa atenção. > >Marcio > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >-- _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br
[obm-l] Re:Provas do C.N
Velho ,vou te mandar uma xerox do livro do manuel "colegio naval 52 a 66 " , mas como voçê vai pagar as despesas,NÃO ENTENDO COMPO FUNCIONA O CORREIO LEANDRO GERALDO DA COSTA COLEGIO:ESCOLA TECNICA PANDIA CALOGERAS BARRA MANSA TEL :024 33261039 -- Início da mensagem original --- De: "Alves Dias" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Tue, 18 May 2004 10:15:25 -0300 Assunto: Provas do C.N > Caro Leandro, eu gostaria de obter as provas de matematica do colegio naval que vc tem, obrigado. > Jose Aurimenes alves Dias > Rua General Roca 460 casa 09 apt. 101 > Tijuca RJ > CEP. 20521-070 > > obs. pagarei as despesas! > AURI > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ITA-95
Senhores (as) Estava analisando o material do cursinho Etapa, no que se refere a resolucao da prova de matemática do vestibular do ITA (ano 1995). Tenho ca comigo duvidas acerca da veracidade das afirmações contidas naquele material, entretanto posso ter esquecido algum teorema que venha a me calar. Vejam se podem me ajudar, aqui vai o enunciado (logo em seguida comentarei onde estou tropeçando). E a questao numero 9: Sabendo-se que 4 + i*2^(1/2) e 5^(1/2) são raizes do polinômio 2x^5 - 22x^4 + 74x^3 + 2x^2 - 420x + 540, entao qual e a soma dos quadrados de todas as raízes reais? RESP.: 19 A primeira afirmação da apostila me e conhecida: SE 4 + i * 2^(1/2) É RAIZ, ENTÃO SEU CONJUGADO TAMBEM SERA RAIZ. Ate ai tudo bem, isso decorre do fato de todos os coeficientes serem reais. Portanto, neste ponto já teríamos 3 raizes. Daí vem minha duvida, que e a segunda afirmação ali contida. Sem mais nem menos, o texto afirma que, "SE 5^(1/2) É RAIZ, ENTAO -5^(1/2) TAMBEM E". Deste ponto adiante, a apostila usa a primeira relação de GIRARD e voila!... Vejam bem: De fato "-5^(1/2)" será raiz! O problema e a afirmação de que se lancou mão. De forma bastante clara, minha duvida e: A ultima afirmação esta certa? Por que? Ou por que nao? Muito obrigado por vossa atenção. Marcio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Treinamento OBM SJ. dos Campos
Alguem sabe aonde tem treinamento no Rio? From: "Rogério Possi Júnior" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Treinamento OBM SJ. dos Campos Date: Tue, 18 May 2004 16:12:03 -0300 Nelly, Onde será o treinamento em São Paulo? Será no mesmo horário que São José dos Campos? Mesmo quem não participará da OBM pode participar do treinamento? Obrigado, Rogério. From: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Treinamento OBM SJ. dos Campos Date: Mon, 17 May 2004 10:32:32 -0300 Caros(as) amigos(as) da lista: Treinamento para OBM na cidade de S.J. dos Campos - SP Aberto a todos Local: Prédio da Faculdade de Direito - UNIVAP - Centro Praça Candido Dias Castejon, 116, Sala 8 São José dos Campos - SP Todos os sábados a partir do dia 22/05 Nível 1: de 8:00 às 9:30hs Nível 2: de 9:30 às 11:00hs Nível 3: de 11:00 às 12:30hs Abraços, Nelly. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Soma...
Olá Crom, Muitos livros de Matemática apresentam uma possível dedução da fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro positivo) dos n primeiros inteiros positivos pelo método que você apresentou parcialmente, ou seja, usando o desenvolvimento do binômio de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o somatório com x variando de 1 até n a ambos os membros da igualdade, os termos de grau (k + 1) podem ser cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1) no primeiro membro da igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da igualdade. Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências k-ésimas, nós precisamos conhecer todas as fórmulas das somas das potências com expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós encontramos uma fórmula de recorrência para deduzir a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos, porém o processo vai ficando muito longo à medida que os expoentes vão crescendo. A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado para encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos de forma direta. Neste método, não há a necessidade de se conhecer as fórmulas das somas das potências com expoente de 1 até (k - 1) DEDUÇÃO POSSÍVEL: Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que: S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i) Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na diferença S[n] - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser cancelados. Sendo assim, podemos escrever: S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos. Portanto, d = 0. S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii) Substituindo a (ii) na (i): a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2 Pela identidade de polinômios, devemos ter: 3a = 1 <=> a = 1/3 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6 Substituindo a, b e c no polinômio (ii): S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6 Fatorando: S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6 S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6 S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 Para o caso particular do problema apresentado, teremos: S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385 Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Soma... Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.+10^2? Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito, 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1 -- 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando convenientemente 3*1^2+3*2^2++3*10^2. descubro S. Minha pergunta é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de quadrados perfeitos?? Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Basta supor que são dois monges (um subindo e outro descendo) andando no mesmo dia. Se o proposto não ocorresse, então os monges conseguiriam a façanha de subir pela mesma trilha sem se encontrar. Will - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> Às seis horas da manhã, um monge começa a escalar uma montanha. Segue uma trilha montanha acima, parando ocasionalmente para descansar e meditar. Numa certa hora da tarde do mesmo dia, alcança o cume da montanha e vai dormir. Às seis horas da manhã seguinte, começa a descer pelo mesmo caminho, parando para descansar. Atinge o sopé da montanha logo após o crepúsculo do mesmo dia. Você será capaz de provar, sem recorrer a considerações a respeito da velocidade, que o monge alcançará um determinado ponto na descida, que é exatamente o mesmo ponto alcançado na subida, exatamente aquela mesma hora do dia? NOTA: Charada cunhada por Carl Duncker. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Exponencial
Morgado,
Em grande parte das vezes é mais difícil decifrar o enunciado da
questão do que a própria questão. :)
Neste caso, eu somente consegui decifrar o enunciado porque já tinha
resolvido esta questão.
Abraços,
Rogério Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Augusto Cesar de Oliveira Morgado
Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 07:01
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Exponencial
Rogério, o que voce eh? egiptologo?
Parabens por ter decifrado.
==
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-- Original Message ---
From: Rogério Moraes de Carvalho <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wed, 19 May 2004 01:54:32 -0300
Subject: RE: [obm-l] Exponencial
> Olá Fábio,
>
> Ficou muito difícil entender a questão com esta explicação da
> notação no meio do enunciado. De qualquer modo, eu já havia
> resolvido esta questão anteriormente.
>
> Segue o enunciado e uma resolução possível.
>
> ENUNCIADO:
> Resolva no campo dos reais a seguinte equação exponencial:
> 3^(x^2 + 1/x^2) = 81/3^(x + 1/x)
>
> RESOLUÇÃO:
> Condição de existência: x != 0
>
> Fazendo y = x + 1/x, teremos:
> y^2 = (x + 1/x)^2 => y^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 => x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2
>
> Portanto, representando a equação exponencial em função de y,
> teremos: 3^(y^2 - 2) = 3^4/3^y <=> 3^(y^2 - 2) = 3^(4 - y) <=> y^2 -
> 2 = 4 - y <=> y^2 + y - 6 = 0 <=> y = -3 ou y = 2
>
> Para y = -3:
> x + 1/x = -3 <=> x^2 + 3x + 1 = 0 <=> x = [-3-sqr(5)]/2 ou x = [-
> 3+sqr(5)]/2
>
> Para y = 2:
> x + 1/x = 2 <=> x^2 - 2x + 1 = 0 <=> (x - 1)^2 = 0 <=> x = 1
>
> Todas as soluções satisfazem a condição de existência.
>
> Resposta: S = {[-3-sqr(5)]/2, [-3+sqr(5)]/2, 1}
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
>
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> On Behalf Of Fabio Contreiras Sent: sexta-feira, 14 de maio de 2004 23:00
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Exponencial
>
> Tentei sair dessa equação mas naum deu em nada... alguem tem o bizu
> aih hehe , Abraços! Fabio 3^x^2 ( 3 elevado à x ao quadrado ) +
> 1 / x^2 = { 81 / 3^[(x+1/x)] } Valeu desde já!
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
--- End of Original Message ---
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Livro de eq Diferenciais...[OFF-TOPIC]
O livro de EDP do Djairo é muito bom. E o de Equações Diferenciais Aplicadas, que é um livro de EDO é também muito bom. Quando fiz o curso de introdução a EDO o meu professor adotou o livro do Boyce - Di prima, porém falou que o livro do Djairo era um pouco mais matematico. Só não gosto do livro EDP da Valéria Iório, porém o livro ela escreveu junto com o Rafael Iório também é bom. Além disso tem um livro do Sotomayor "Lições de EDO" que foi publicado pelo IMPA que também é muito bom. Cícero ___ InSite - O melhor serviço de hospedagem e registro de domínios. R$29/mês - registre agora - http://www.insite.com.br/registro/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Exponencial
Rogério, o que voce eh? egiptologo?
Parabens por ter decifrado.
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-- Original Message ---
From: Rogério Moraes de Carvalho <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wed, 19 May 2004 01:54:32 -0300
Subject: RE: [obm-l] Exponencial
> Olá Fábio,
>
> Ficou muito difícil entender a questão com esta explicação da
> notação no meio do enunciado. De qualquer modo, eu já havia
> resolvido esta questão anteriormente.
>
> Segue o enunciado e uma resolução possível.
>
> ENUNCIADO:
> Resolva no campo dos reais a seguinte equação exponencial:
> 3^(x^2 + 1/x^2) = 81/3^(x + 1/x)
>
> RESOLUÇÃO:
> Condição de existência: x != 0
>
> Fazendo y = x + 1/x, teremos:
> y^2 = (x + 1/x)^2 => y^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 => x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2
>
> Portanto, representando a equação exponencial em função de y,
> teremos: 3^(y^2 - 2) = 3^4/3^y <=> 3^(y^2 - 2) = 3^(4 - y) <=> y^2 -
> 2 = 4 - y <=> y^2 + y - 6 = 0 <=> y = -3 ou y = 2
>
> Para y = -3:
> x + 1/x = -3 <=> x^2 + 3x + 1 = 0 <=> x = [-3-sqr(5)]/2 ou x = [-
> 3+sqr(5)]/2
>
> Para y = 2:
> x + 1/x = 2 <=> x^2 - 2x + 1 = 0 <=> (x - 1)^2 = 0 <=> x = 1
>
> Todas as soluções satisfazem a condição de existência.
>
> Resposta: S = {[-3-sqr(5)]/2, [-3+sqr(5)]/2, 1}
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
>
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> On Behalf Of Fabio Contreiras Sent: sexta-feira, 14 de maio de 2004 23:00
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Exponencial
>
> Tentei sair dessa equação mas naum deu em nada... alguem tem o bizu
> aih hehe , Abraços! Fabio 3^x^2 ( 3 elevado à x ao quadrado ) +
> 1 / x^2 = { 81 / 3^[(x+1/x)] } Valeu desde já!
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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--- End of Original Message ---
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