Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potenciação

[Iuri Rezende Souza]

Olá!

A primeira congruência:

Como 31 tem mesmo resto que 4 ao dividir por 9, 31*31*31*...*31 (n
vezes) tem o mesmo resto que 4*4*4*...*4 (n vezes) ao dividir por 9.
Logo, 31^31 = 4^31 (mod 9)

A segunda congruência:

Observe o que acontece com os restos (mod 9) ao multiplicar o 4 várias
vezes. Temos a sequência 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 1, ..., que é
periódica com período 3. Então basta olhar o resto do expoente (31) por 3.

Outro modo de ver isso é qual potência de 4 tem resto 1 ao ser dividida
por 9 (isso é possível, já que 4 e 9 são primos entre si). 4^3 é essa
potência. Então podemos separar os termos do produto de 3 em 3. Observe
que 4^31 = 4*4*4*4*4*...*4 =
(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*4 = ((4^3)^6)*4. Sabendo
que 4^3 tem resto 1 ao ser dividido por 9, o resto desse número é igual
a (1^6)*4 = 4.

Mudando um pouco de problema, um exemplo disso em que podemos
simplificar uma potência com aritmética modular é o critério da divisão
por 9 na base decimal. O número com algarismos abcd é igual a a*10^3 +
b*10^2 + c*10^1 + d*10^0. Observe que 10 deixa mesmo resto que 1 ao ser
dividido por 9, ou, em outras palavras, 10 = 1 (mod 9). Assim, a*10^3 +
b*10^2 + c*10^1 + d*10^0 = a*1^3 + b*1^2 + c*1^1 + d*1^0 (mod 9).
Continuando, a*1^3 + b*1^2 + c*1^1 + d*1^0 = a+b+c+d (mod 9). Acho que
isso já dá o que pensar sobre aritmética modular.

Att,
Iuri

On 19-11-2014 12:16, Vanderlei Nemitz wrote:
> Muito obrigado! Confesso que não entendo muito disso, mas vou procurar
> o teorema e estudar. Uma parte que não entendi bem foi:
>
> Observa-se que chega-se a 1 logo após a 3ª potência do 4. Além disso,
> a cada 3 potências de 4, o resto se repete. Como 31 = 1 (mod 3), temos que
>
> 31^31 = 4^31 = 4^1 = 4 (mod 9).
>
> Se puder esclarecer, agradeço muito!
>
> Um abraço!
>
> Em 18 de novembro de 2014 12:25, Iuri Rezende Souza
> mailto:iuri_...@hotmail.com>> escreveu:
>
> Sim.
>
> A soma da soma da soma ... da soma dos algarismos de um número nos
> dá o resto do número ao ser dividido por 9.
>
> 31 = 4 (mod 9), ou seja, 31 deixa o mesmo resto que 4 quando
> dividido por 9.
>
> Observe o padrão do resto das potências de 4 divididas por 9:
> 4^2 = 4*4 = 7 (mod 9)
> 4^3 = 7*4 = 1 (mod 9)
> 4^4 = 1*4 = 4 (mod 9)
>
> Observa-se que chega-se a 1 logo após a 3ª potência do 4. Além
> disso, a cada 3 potências de 4, o resto se repete. Como 31 = 1
> (mod 3), temos que
>
> 31^31 = 4^31 = 4^1 = 4 (mod 9).
>
> PS: existe um resultado em teoria dos números que diz que se
> mdc(a, n) = 1, o menor inteiro não-nulo t tal que a^t = 1 (mod n)
> divide o número phi(n), onde phi(n) é o número de inteiros x
> menores que n tais que mdc(x, n) = 1. Com esse resultado, não
> precisa procurar padrões: basta saber que phi(9) = 6 e usar 31 = 1
> (mod 6) a seu favor.
>
>
>
> On 18-11-2014 09:32, Vanderlei Nemitz wrote:
>> Existe alguma maneira de resolver a questão a seguir sem precisar
>> enxergar um padrão, por meio de alguns exemplos? Mesmo que esse
>> padrão exista, não podemos garantir que irá permanecer. Gostaria
>> de um método geral.
>>
>> Obrigado!
>>
>> *O número 31^31 é um inteiro que quando escrito na notação
>> decimal possui 47 **algarismos. Se a soma destes 47 algarismos é
>> S e a soma dos algarismos de S **é T então a soma dos algarismos
>> de T é igual a: *
>> *a) 4 *
>> *b) 5 *
>> *c) 6*
>> *d) 7 *
>> *e) 8*
>>
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo. 
>
>
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Potenciação

[Iuri Rezende Souza]

Sim.

A soma da soma da soma ... da soma dos algarismos de um número nos dá o
resto do número ao ser dividido por 9.

31 = 4 (mod 9), ou seja, 31 deixa o mesmo resto que 4 quando dividido por 9.

Observe o padrão do resto das potências de 4 divididas por 9:
4^2 = 4*4 = 7 (mod 9)
4^3 = 7*4 = 1 (mod 9)
4^4 = 1*4 = 4 (mod 9)

Observa-se que chega-se a 1 logo após a 3ª potência do 4. Além disso, a
cada 3 potências de 4, o resto se repete. Como 31 = 1 (mod 3), temos que

31^31 = 4^31 = 4^1 = 4 (mod 9).

PS: existe um resultado em teoria dos números que diz que se mdc(a, n) =
1, o menor inteiro não-nulo t tal que a^t = 1 (mod n) divide o número
phi(n), onde phi(n) é o número de inteiros x menores que n tais que
mdc(x, n) = 1. Com esse resultado, não precisa procurar padrões: basta
saber que phi(9) = 6 e usar 31 = 1 (mod 6) a seu favor.


On 18-11-2014 09:32, Vanderlei Nemitz wrote:
> Existe alguma maneira de resolver a questão a seguir sem precisar
> enxergar um padrão, por meio de alguns exemplos? Mesmo que esse padrão
> exista, não podemos garantir que irá permanecer. Gostaria de um método
> geral.
>
> Obrigado!
>
> *O número 31^31 é um inteiro que quando escrito na notação decimal
> possui 47 **algarismos. Se a soma destes 47 algarismos é S e a soma
> dos algarismos de S **é T então a soma dos algarismos de T é igual a: *
> *a) 4 *
> *b) 5 *
> *c) 6*
> *d) 7 *
> *e) 8*
>
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] sair

[Iuri]

A saída é por aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

Iuri

2009/4/15 

> Por favor
>
> Exclua-me da lista.
>
>
>
> Att, Luciana
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por q ue é impossível?

[Iuri]

O problema é que não existe primitiva de e^(-x^2), mas pode-se calcular a
integral numericamente ou até analiticamente dependendo do intervalo de
integração. Ela é convergente em todo R.

Resultados possíveis de se encontrar analiticamente é a integral de zero a
infinito ou de -infinito a +infinito.

Iuri

2009/3/23 Paulo Cesar 

>
>
> Essa integral não é impossível. Só não é possível resolver pelos métodos
> convencionais.
> Já vi a solução numa aula de cálculo 3, faz muito tempo. Caso eu encontre,
> publico aqui. mas acho que até lá um dos mestres da lista já terá resolvido.
>
> Abraço
>
> PC
>

Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Iuri]

Bom, provar que a série harmonica diverge não é das tarefas mais fáceis,
mas...

Não seria o contrário? Antes de fazer tudo isso de conta que vc fez no
primeiro email, você teria que provar que ela converge.



2008/12/18 Albert Bouskela 

>  Amigos:
>
>
>
> Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É necessário mostrar
> que  S = 1 +1/2 + 1/3 + ...  diverge, o que, de modo algum, é óbvio!
>
>
>
> Sds.,
>
> AB
>
>
>
>
>
> *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
> Behalf Of *Iuri
> *Sent:* Thursday, December 18, 2008 4:08 PM
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Subject:* Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)
>
>
>
> A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
> email erradas.
>
>  2008/12/18 Albert Bouskela 
>
> Amigos:
>
> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai
> o segundo:
>
> [1]
> Considere a seguinte série:
> S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
>
> [2]
> Faça a seguinte manipulação:
> S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq A].
>
> [3]
> É óbvio que:
> S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Logo:
> S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq B].
>
> [4]
> Subtraia a [eq A] da [eq B]:
>
> [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
> S/2 - S/2 = 0
>
> [4.2] Já o lado direito...
> soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
>
> Mas...
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
>
> [5]
> E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???)
>
> Onde está o erro?
>
> Uma curiosidade:
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) =
> 0,69 > 1/2
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
>  --
>
> Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o
> Messenger! É GRÁTIS! <http://www.msn.com.br/emoticonpack>
>
>
>

Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Iuri]

A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
email erradas.


2008/12/18 Albert Bouskela 

>  Amigos:
>
> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai
> o segundo:
>
> [1]
> Considere a seguinte série:
> S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
>
> [2]
> Faça a seguinte manipulação:
> S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq A].
>
> [3]
> É óbvio que:
> S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Logo:
> S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq B].
>
> [4]
> Subtraia a [eq A] da [eq B]:
>
> [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
> S/2 - S/2 = 0
>
> [4.2] Já o lado direito...
> soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
>
> Mas...
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
>
> [5]
> E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???)
>
> Onde está o erro?
>
> Uma curiosidade:
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) =
> 0,69 > 1/2
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
>
> --
> Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o
> Messenger! É GRÁTIS! 
>

Re: [obm-l] Uma ajuda

[Iuri]

Você tem 5 letras distintas para distribuir, então 5!. Três dessas letras
tem que estar em uma determinada ordem (AUO), então divide por 3!. Ser ordem
alfabética ou qualquer outra não importa (essa é a idéia mais importante a
ser levada dessa questão).

Esse é o pensamento que o aluno tem que ter. Numa questão com uma palavra
maior não é tão conveniente pensar desse seu modo.

Iuri

2008/10/7 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>

> Amigos,
> Quantos anagramas da palavra ALUNO mantém as vogais e ordem alfabética?
>
> Vejam se concordam para explicar aos alunos.
>
> i) "A" pode ocupar a 1ª, 2ª ou 3ª casa somente.
> ii) "O" pode ocupar 2ª, 3ª ou 4ª casa.
> iii) "U" pode ocupar 3ª, 4ª ou 5ª.
> A resposta é 20. Mas queria construir uma solução mais clara. Alguma idéia?
>
> Abraços--
> Walter
>

Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista

[Iuri]

Na primeira escolha vc tem 20 times pra escolher. Na segunda, tem 19, já que
um deles foi escolhido anteriormente. Como escolher primeiro o time A e
depois o time B ou primeiro escolher o time B e depois o time A são a mesma
coisa, vc divide o resultado por 2.

On Thu, Aug 21, 2008 at 7:18 PM, Dória <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Quando faço 20*19 o que eu encontro?
>
> Obrigada.
>
> 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]>
>
>  20*19/2 = 190
>>
>>
>> 2008/8/21 Dória <[EMAIL PROTECTED]>
>>
>>  Olá!
>>> Podem me ajudar nesse exercício, por favor?
>>>
>>> No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as
>>> equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste
>>> campeonato?
>>>
>>> [ ]'s
>>>
>>
>>
>

Re: [obm-l] OFF: Teste de envio - [Troca de email] (2)

[Iuri]

Sim, estamos vendo.

Iuri

On Sun, Jul 27, 2008 at 9:25 PM, Eduardo AM <[EMAIL PROTECTED]>wrote:

> Nao estou recebendo as mensagens do grupo apos a troca do email!
> Se alguem na lista estiver visualizando e puder me responder em PVT!!
>
> Obrigado.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> =
>

Re: [obm-l] e^pi vs. pi^e

[Iuri]

e^x >= x+1 (demonstração a partir da expansão de e^x em torno do ponto zero)

Sabemos que a igualdade acontece somente para x=0, entao, supondo x
diferente de zero, temos: e^x > x+1

Para x=pi/e -1, temos:

e^((pi/e) -1) > pi/e
e^(pi/e) > pi
e^pi > pi^e



On Thu, Jun 26, 2008 at 6:17 PM, Bouskela <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Sem dispor de uma calculadora e, também, sem fazer contas, cálculos etc.,
> demonstre, ANALITICAMENTE, que:
> e^pi > pi^e
>
> Sds.,
> AB
>

Re: [obm-l] off toppic: material para o ITA

[Iuri]

http://www.rumoaoita.com/novo/provas.php

Iuri

2008/3/20 Antonio Giansante <[EMAIL PROTECTED]>:

> creio que muitos já pediram isso: alguém sabe um link
> onde eu possa conseguir as provas do ITA (ao menos as
> 10 últimas)? Não precisa ser resolvida, mas pelo menos
> com o gabarito.
>
>
>  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> armazenamento!
> http://br.mail.yahoo.com/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> =
>

Re: [obm-l] QUESTÃO UERJ

[Iuri]

"Considere o conjunto formado pelos interios p, para os quais (p^2 +5)/(p+2)
também é um número inteiro. O número de elementos desse conjunto é:"

(p²+5)/(p+2) = (p²+4p+4)/(p+2) + (-4p+1)/(p+2) = (p+2) - 4(p+2)/(p+2) +
9/(p+2) = p-2 + 9/(p+2)

Aí basta ver quantos divisores tem o 9. Sao 6 divisores no total, sendo 3
positivos e 3 negativos.

2008/2/20 gugolplexj <[EMAIL PROTECTED]>:

> "Considere o conjunto formado pelos interios p, para os quais (p^2
> +5)/(p+2) também é um número inteiro. O número de elementos desse conjunto
> é:"
>
> O gabarito é 6 e os inteiros são  -11, -5, -3, -1, 1 e 7.
>
> É fácil ver q par não serve, mas como provar q não vale para os demais
> inteiros ímpares além desses seis?
> Abs
> Jorge
>
>
>

Re: [obm-l] outra de complexos

[Iuri]

(1-i)/(x+i) é o conjugado de (1+i)/(x-i) (prova-se usando só
propriedades básicas de complexos), e portanto z=2.Re((1+i)/(x-i)), ou
seja, é sempre real.

Iuri

On Dec 2, 2007 3:58 PM, albert richerd carnier guedes
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Ney Falcao escreveu:
>
> >
> > Gostaria de uma ajuda com esta também:
> >
> >
> > Para que valores de *x*, *x ** Î R*, o número *z* é real?
> >
> >
> >
> > Z =
> >
> >
> >
> > 1 + i
> >
> >
> >
> > +
> >
> >
> >
> > 1 – i
> >
> > x – i
> >
> >
> >
> > x + i
> >
> >
> >
> > Obrigado
> >
> > Ney
> >
> Olá Ney.
>
> Para resolver isso, primeiro é nescessario colocar z na forma
>
> z = a + i b
>
> Para isso é só fazer
>
> z = ( 1 + i )/( x - i ) + ( 1 - i )/( x + i ) =
> = [ ( x + i )( 1 + i ) + ( x - i )( 1 - i ) ]/[ ( x + i )( x - i ) ]  =
> =  [ x + ix + i  - 1 + x - ix  -i + 1 ]/[ x^2 + 1 ] =
> =  [ 2x ]/[ x^2 + 1 ] = 2x/(x^2 + 1)
>
> e como se vê, z já é real para todo x real.
> Ok ?
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Trigonometria-IME

[Iuri]

Isso mesmo.. distraçao minha.

On Nov 27, 2007 9:58 PM, Graciliano Antonio Damazo <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:

>
> Iuri, muito obrigado pela sua ajuda, e eu resolvi igualzinho a vc, com os
> mesmos passos. Só que na expressao senx.cosx=1 => sen2x=1/2 tem um
> equivoco pois o correto seria senx.cosx=1 => sen2x=2 o que é impossivel,
> servido como solução as outras que vc encontrou...eu acho que é isso nao é?
> Entao muito obrigado pela ajuda e até a proxima..
>
> Graciliano
> *Iuri <[EMAIL PROTECTED]>* escreveu:
>
> (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2
>
> Fatorando: (senx+cosx)(sen²x+cos²x-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)
>
> Como sen²x+cos²x=1: (senx+cosx)(1-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)
>
> Colocando (1-senx.cosx ) em evidencia: (1-senx.cosx)(senx+cosx-1-senx.cosx
> )=0
>
> Desenvolvendo soh o segundo fator: senx+cosx-1-senx.cosx = (senx-1) -
> cosx(senx-1) = (senx-1)(1-cosx)
>
> Entao o produto que temos eh: (senx-1)(1-cosx).(1-senx.cosx ) = 0
>
> Dai temos, senx=1 ou cosx=1 ou senx.cosx=1 => sen2x=1/2, que é x=2kpi ou
> x=pi/2 + 2kpi ou 2x=pi/6+2kpi ou 2x=5pi/6+2kpi
>
> O conjunto solucao da equacao eh { 2kpi, pi/2 + 2kpi, pi/12 + kpi,
> 5pi/12+kpi }
>
> Espero nao ter errado nenhuma conta.
>
>
>
> On Nov 27, 2007 1:37 AM, Graciliano Antonio Damazo <
> [EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> > Amigos da lista, vieram me perguntar sobre uma questao do IME de
> > trigonometria e minha soluçao nao concordava com a do gabarito, entao
> > gostaria que voces me ajudassem:
> >
> > 1) resolva a equação:
> >
> > (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2
> >
> > agradeço desde de já pela ajuda...
> >
> > Graciliano
> >  --
> > Abra sua conta no Yahoo! 
> > Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>,
> > o único sem limite de espaço para armazenamento!
> >
>
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Trigonometria-IME

[Iuri]

(senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2

Fatorando: (senx+cosx)(sen²x+cos²x-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)

Como sen²x+cos²x=1: (senx+cosx)(1-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)

Colocando (1-senx.cosx) em evidencia: (1-senx.cosx)(senx+cosx-1-senx.cosx)=0

Desenvolvendo soh o segundo fator: senx+cosx-1-senx.cosx = (senx-1) -
cosx(senx-1) = (senx-1)(1-cosx)

Entao o produto que temos eh: (senx-1)(1-cosx).(1-senx.cosx) = 0

Dai temos, senx=1 ou cosx=1 ou senx.cosx=1 => sen2x=1/2, que é x=2kpi ou
x=pi/2 + 2kpi ou 2x=pi/6+2kpi ou 2x=5pi/6+2kpi

O conjunto solucao da equacao eh { 2kpi, pi/2 + 2kpi, pi/12 + kpi,
5pi/12+kpi }

Espero nao ter errado nenhuma conta.



On Nov 27, 2007 1:37 AM, Graciliano Antonio Damazo <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Amigos da lista, vieram me perguntar sobre uma questao do IME de
> trigonometria e minha soluçao nao concordava com a do gabarito, entao
> gostaria que voces me ajudassem:
>
> 1) resolva a equação:
>
> (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2
>
> agradeço desde de já pela ajuda...
>
> Graciliano
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
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>

Re: [obm-l] Função

[Iuri]

Bruna,
Depende da sua definicao de função crescente.

A minha definicao foi: Uma funcao eh crescente se e somente se para x>y,
temos f(x)>=f(y), para quaisquer x,y do dominio.
A do marcelo foi: Uma funcao eh crescente se e somente se para x>y, temos
f(x)>f(y), para quaisquer x,y do dominio.

Em alguns lugares inclusive você encontra a definicao do Marcelo como
definição para função estritamente crescente.

Iuri


On 9/24/07, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> olá meninos.
> agora tenho uma dúvida, são 10 ou 6 possibilidades de funcoes crescentes ?
> eu não tenho gabarito.
>
> bjos meninos.

Re: [obm-l] Função

[Iuri]

Sejam A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4} quantas funções de A para B são
crescentes ?


Se F(1) = 1, entao F(2) pode ser 1, 2, 3 ou 4.
Se F(1) = 2, entao F(2) pode ser 2, 3 ou 4.
Se F(1) = 3, entao F(2) pode ser 3 ou 4,
Se F(1) = 4, entao F(2) é 4.

Ai estao todas as 10 possibilidades de funcoes crescentes.

On 9/24/07, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> * *Sejam A = {1, 2} e B =
> {1, 2, 3, 4} quantas funções de A para B são crescentes ?
> --
> Bjos,
> Bruna

Re: [obm-l] Uma PAG

[Iuri]

Bruno, na verdade você deveria derivar P_n(x) = x + x^2 + ... + x^n.. Não
existe o termo independente. A pequena diferenca no resultado foi essa.

Iuri



On 9/20/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Olá Vitório,
>
> veja que existe um pequeno truque aqui:
>
> Sn = 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^(n-1) = d/dx (x + x^2 + ... + x^n)
> Sn = d/dx [ x(x^n-1)/(x-1) ]
>
> agora basta derivar para obter o resultado..
> um abraço,
> Salhab
>
>
> On 9/20/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >  Calcule a soma Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1
> >
> > Eu cheguei ao seguinte resultado:
> >
> > Sn= (1 - (n+1)x^n + nx^n+1 ) / ( 1 - x )^2
> >
> > Estou correto
> >
> >
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Uma de Limite

[Iuri]

Lim  (x^2*y^2)/(x^2+y^2) = Lim(x²)*lim(y²/(x²+y²))
(x,y)->(0,0)

Como y²/(x²+y²) < 1(limitada) e lim(x²) = 0, o limite é zero.

On 9/11/07, Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Pessoal,
>
> encontrei alguma dificuldade para calcular
>
>  Lim  (x^2*y^2)/(x^2+y^2)
> (x,y)->(0,0)
>
> Desde jah, muito grato.
>
> "o muito estudar eh enfado para a carne"
>  (Rei Salomão)
>
> --
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> offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se 
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>

Re: [obm-l] Conjectura - Teoria dos Números

[Iuri]

Isso é um teorema do euler: a^n = a (mod n) se e somente se n eh primo.

Iuri



On 7/16/07, Angelo Schranko <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Saudações Srs.

Sou novo na lista.
Por favor me ajudam a provar (ou encontrar um contra-exemplo)
para a seguinte conjectura :

(2^(n - 1) - 1)/n é inteiro <=> n primo

Obrigado,
[]´s
Angelo

--
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uma nova busca.

Re: [obm-l] PRODUTO DA UFPB

[Iuri]

P = cospi/65.cos2pi/65.cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65
2sen(pi/65)P = 
2sen(pi/65)cospi/65.cos2pi/65.cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65
= sen(2pi/65).cos2pi/65.cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65

4sen(pi/65)P = 2sen(2pi/65).cos2pi/65.cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65
= sen(4pi/65).cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65

E assim por diante, até 2^6.sen(pi/65) P = sen(64pi/65) = sen(pi/65) -> P =
1/2^6 = 1/64

Iuri

On 7/14/07, arkon <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


OLÁ PESSOAL, ALGUÉM PODERIA ME PASSAR O MACETE PARA RESOLVER ESSA:


(UFPB-90) O produto cospi/65.cos2pi/65.cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65
é igual a:



*a) 1/64.* b) 1/32. c) 1/2.
d) 0. e) 1.

O GABARITO É LETRA A



DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

Re: [obm-l] Lugares geométricos...

[Iuri]

A circunferencia é a do Apolonio, e calcular o raio dela não é dificil.

Iuri

On 7/12/07, Ruy Oliveira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Às vezes,  afirmar que um problema está mal escrito e
aparentemente não tem solução, pode significar um
risco muito grande. Resolvi arriscar e apostei com
alguns amigos que este aqui que vou passar pra vocês
se encaixa nisso que eu disse. Espero ter razão, pois
, apostei alto.
" Dados dois pontos distintos A e B de um plano, os
pontos X desse plano que satisfazem a condição AX=2BX
pertencem a uma mesma circunferência. Determine a
expressão do raio da circunferência  em função do
comprimento d do segmento AB.
   Agradeço antecipadamente a quem puder me resolver
esse problema.
  Ruy







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Re: [obm-l] Sequências

[Iuri]

a1 = raiz(2) -1
a2 = raiz(6) -1
a3 = raiz(12) -1
a4 = raiz(20) -1

A sequencia diverge, pois an diverge.


On 7/4/07, Metrical <[EMAIL PROTECTED]> wrote:



 Bom dia, alguém poderia me ajudar com essa questão? Seja  an = raiz(n² +
n) - 1 (sendo -1 fora da raiz), o termo geral da seqüência { an }.

a) Escreva os quatros primeiros termos desta seqüência.

b)Verifique se a seqüência é convergente, calculando o seu limite caso
exista.



Obrigado



Wallace

Re: [obm-l] Função modular

[Iuri]

f(x)= |x^2 - 16| - |x - 4| = |(x-4)(x+4)|-|x-4| = |x-4| (|x+4| -1)

Para x>=4: f(x) = (x-4)(x+3)
Para -4 wrote:


Estou com dificuldades em resolver esse exercício:

Dada a função F:R em R, definida por f(x)= |x^2 - 16| - |x - 4|, determine
ps zeros da função e
esboce o se gráfico.

Se alguém puder me ajudar, agradeço.
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Ajuda no desafio sobre álgebra

[Iuri]

Sabemos que e^x >= x+1.

Para x=(pi/e) - 1:

e^[(pi/e) -1] >= pi/e
[e^(pi/e)]/e >= pi/e
e^(pi/e) >= pi
e^pi >= pi^e

Iuri

On 5/27/07, Igor Battazza <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Em 27/05/07, Marcus Vinicius Braz<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Muito obrigado Artur, Bruno e Igor !
> Eu resolvi da mesma maneira que você Igor, e fiquei com a mesma dúvida
que
> você: Será que está certo? (risos)
> Achei muito interessante as soluções do Bruno e do Artur também.
> Abraços
>
> _
> Verifique já a segurança do seu PC com o Verificador de Segurança do
Windows
> Live OneCare! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>

Pois é! Também não estou confiando no meu taco hehehe. Alguem deve nos
falar qualquer hora.

Obrigado,
Igor.

=
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Re: [obm-l] Série

[Iuri]

sen(n)/n converge para 1 (e não para zero), então a série diverge.

On 4/15/07, Felipe Diniz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio:

Verifique se converge ou diverge a seguinte série:

Sum(n=1 -> inf)  Sen[n]/n



[ ] s ,
Felipe.

Re: [obm-l] arctg^2

[Iuri]

Para x=0, arctg(x)=0, mas tambem acho que o gabarito tá errado.

On 4/11/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


nao pode ser esse o gabarito senao seria valido para x=0 ai teriamos
3-2pi<0


On 4/11/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> O gabarito tá marcando :
>
> ]- infinito, +infinito[
>
> 
>
>
> > -pi/3 <= x <= pi/3 seria se a desigualdade fosse
> -sqrt(3)<=tgx<=sqrt(3)
> >
> > Aplicando tg() na desigualdade, e considerando a imagem da funcao tg
> entre
> > -pi/2 e pi/2, temos:
> >
> > tg(-sqrt(3)) <= x <= tg(sqrt(3))
> > -tg(sqrt(3)) <= x <= tg(sqrt(3))
> >
> > Entao temos |x|<=tg(sqrt(3))
> >
> >
> > On 4/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > >
> > > Ola,
> > >
> > > como a funcao eh real, temos que ter:
> > >
> > > 3 - (arctgx)^2 >= 0
> > > |arctgx| <= sqrt(3)
> > >
> > > -sqrt(3) <= arctgx <= sqrt(3)
> > > -pi/3 <= x <= pi/3
> > >
> > > abracos,
> > > Salhab
> > >
> > >
> > >
> > > On 4/11/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > > > Questão da prova para professor da marinha:
> > > >
> > > > O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x]
> > > >
> > > > eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3]
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> =
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > >
> > >
> =
> > > >
> > >
> > >
> =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> =
> > >
> >
>
> Vitório Gauss
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
> =
>

Re: [obm-l] arctg^2

[Iuri]

-pi/3 <= x <= pi/3 seria se a desigualdade fosse -sqrt(3)<=tgx<=sqrt(3)

Aplicando tg() na desigualdade, e considerando a imagem da funcao tg entre
-pi/2 e pi/2, temos:

tg(-sqrt(3)) <= x <= tg(sqrt(3))
-tg(sqrt(3)) <= x <= tg(sqrt(3))

Entao temos |x|<=tg(sqrt(3))


On 4/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Ola,

como a funcao eh real, temos que ter:

3 - (arctgx)^2 >= 0
|arctgx| <= sqrt(3)

-sqrt(3) <= arctgx <= sqrt(3)
-pi/3 <= x <= pi/3

abracos,
Salhab



On 4/11/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Questão da prova para professor da marinha:
>
> O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x]
>
> eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3]
>
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>

=
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=

Re: [obm-l] Equações trigonometricas

[Iuri]

tgx + cotgx = 2sen6x

(sen²x+cos²x)/senxcosx = 2sen6x

sen6x*2senxcosx=1
sen6x.sen2x=1

sen6x=sen2x=1 ou sen6x=sen2x=-1

2x=pi/2 + kpi
x=pi/4 + kpi/2


On 4/11/07, Ronaldo Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:




On 4/11/07, Ronaldo Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>
>
> > 2)  (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5
> >
>
>   Essa aqui é bem sacada.   Note que senx = 1 resolve a equação. Ok.
>   Bom agora temos que y = senx = 1 é solução de
>
>y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 = 5
>
> então divida a equação por y-1 e procure agora soluções entre [-1,1[ ...
> bom...
> a fome me chama :)
>
>

  Bom... continuando: y = -1 também é solução então podemos dividir o
polinômio
 y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 - 5  por y^2 - 1 daí resulta:

 y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 +5 = 0
y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 = -5

   Bom... agora esse polinônio não pode ter raízes reais pois a soma de
potências
pares de números reais é sempre real e positivo.
   Então y = -1 e y = 1 são as únicas soluções para y = senx  e x = +-
pi/2 + k*pi,
da equação com k inteiro

[]s








 []s
>
>
>
>
> >
> > Obrigado,
> > Felipe Régis.
> >
>
>
>
> --
> -
> Analista de Desenvolvimento
> Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.




--
-
Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.

Re: [obm-l] trigonometria

[Iuri]

tg x + sen x = m
tg x - sen x = n

Colocando tgx em evidencia:
tgx(1+cosx)=m
tgx(1-cosx)=n

Multiplicando as duas, tg²x(1-cos²x)=mn -> tg²x.sen²x=mn

Eh facil ver que tgx=(m+n)/2 e senx=(m-n)/2.

[m²-n²]²=16mn


On 3/29/07, Renan Kruchelski Machado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


tg x + sen x = m
tg x - sen x = n ==> senx = (m - n)/2 e tgx = (m+n)/2.

Ai lembrando que (cotg x)^2 + 1 = (cossec x)^2 tem-se

4/(m - n)^2 = 1 + 4/(m+n)^2 ==> 8mn = (m^2 - n^2)^2


Em 29/03/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> eliminar o arco x na igualdade
>
> tgx + senx = m e tgx - senx = n
>
>
>
>
> --
> Atenciosamente
> Júlio Sousa

Re: [obm-l] polinomio de grau 7

[Iuri]

P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48

P(x)=3*[x-(1+i)]*[x-(1-i)]*[x-(1+sqrt(2))]*[x-(1-sqrt(2))]*(x-p)^3=(x²-2x+2)(x²-2x-1)(x³-3px²+3p²x-p³)

O termo independente eh 2*(-1)*(-p³)=2p³=48/3=16 -> p³=8 -> p=2.

Tendo todas as raizes, é só fazer girard. Vai dar uma conta um pouco grande,
mas é isso.

Iuri

On 3/25/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as
coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra
1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é?

se 1+i é raiz, então 1-i tb é;
se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2)

existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3...

depois só usar GIRARD

é só isso



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Iuri]

Suponha por absurdo a+b>1+2ab

a-1>ab+ab-b
a-1>ab+b(a-1)
(a-1)(1-b)>ab

Como 00, o que contraria minha
hipotese. Portanto a+b<=1+2ab.


On 3/18/07, Renan Kruchelski Machado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Oi pessoal,

Gostaria de saber se tomando a, b pertencentes a (0,1) nos reais é verdade
que a+b<=1+2ab. Como posso provar isso??

Obrigado,
Renan

Re: [obm-l] Sequencias

[Iuri]

2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2

-S=(2²-1²) + (4²-3²) + (6²-5²) + ... + (100²-99²)

Fazendo diferencas de quadrados, temos: -S=
1.3+1.7+1.11+...+1.199=3+7+11+...+199 que é uma PA.

S=-(3+199).50/2=202.25=101*50=-5050


On 3/14/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an
2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2

3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n


--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] SOMA

[Iuri]

Multiplique S por 2 e subtraia de S. Vc vai cair em uma PG 1+2+2²+2³... ai é
só fazer uma soma de PG.

Iuri

On 12/29/06, Marcus Aurélio <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Alguem pode me ajudar nessa?

Achar a soma S= 1 + 2.2 + 3.2^2 + 4.2^3 + 5.2^4 + ... + 100. 2^99



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Pirâmide e pentágono

[Iuri]

A secção de um plano em uma pirâmide regular de base quadrada é um pentágono
regular de lado 1 cm. Calcule o volume da pirâmide.

Re: [obm-l] Quantas diagonais?

[Iuri]

Se o poligono da base tem n lados, tem tambem n vértices. Portanto o prisma
tem 2n vértices, e cada um deles pode se ligar a (n-3) vértices da "outra
base" do prisma que nao estejam numa face. Portanto o numero de diagonais é
n(n-3).

Iuri


On 11/24/06, ivanzovisk <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono de
n lados?

Re: [obm-l] Geometria - Triangulo isósceles

[Iuri]

hahaha A solução do Edson pareceu até mais facil depois de encontrar. Como
sempre, a reta tá ali e você que não encontra. Eu não tinha tentado com
trigonometria, só com analitica, e posso te dizer que com trigonometria
ficou até pequena comparando com a minha. Mas acho que não tem nada mais
bonito que soluções puramente geometricas. De qualquer forma, obrigado pelas
duas soluções, Edson e Johann.

Iuri

On 11/22/06, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Depois de ser humilhado por estas retas mágicas cearenses, vou fazer a
solucao trigonometrica...

Pelo excesso de matematica deste troço vou escrever isto em LaTeX-like
mesmo...

Seja \alpha = \angle BAH = \angle HAC, AB=BC=1

Podemos fazer um arrastão básico e calcular todos os ângulos exceto ACD e
MAD.
Vamos calcula-los e ver no que da.
Seja \phi=\angle MAD e \theta=\angle ADC
Precisamos provar que \theta+\phi=\pi/2

Temos AH=cos(\alpha) e HC=HB=sen(\alpha) (triangulos retangulos).
HD=HB cos (\alpha)=sen (\alpha) cos(\alpha)=1/2 sen (2*\alpha)
DB=HB sen (\alpha)=sen^2(\alpha)
AD=1-BD=cos^2(\alpha)
MH=MD=1/4 sen (2*\alpha)

Ate agora nada depende dos angulos desconhecidos acima.

SLS, triangulo MAD:

AD/DM=sen(\pi/2-\phi)/sen(\phi)=cotg(\phi)
4cos^2(\alpha)/sen(2*\alpha)=cotg(\phi)
4cos^2(\alpha)/2sen(\alpha)cos(\alpha)=cotg(\phi)
2cos(\alpha)/sen(\alpha)=cotg(\phi)
Temos entao
cotg(\phi)=2cotg(\alpha)

SLS, triangulo CAD:
AD/AC=sen(2*\alpha+\theta)/sen(\theta)
cos^2(\alpha)=sen(2*\alpha+\theta)/sen(\theta)
cos^2(\alpha)/sen(2*\alpha)=sen(2*\alpha+\theta)/sen(\theta)sen(2*\alpha)
cos^2(\alpha)/sen(2*\alpha)=cotg(2*\alpha)+cotg(\theta)
cotg(\alpha)/2=cotg(2*\alpha)+cotg(\theta)
cotg(\alpha)/2-cotg(2*\alpha)=cotg(\theta)



Para provar que os dois angulos somam \pi/2, basta provar que os produtos
das cotangentes valem 1
(abra cos(x+y)=0 e divida por sen(x)sen(y))

Temos
cotg(\phi)=2cotg(\alpha)
cotg(\theta)=cotg(\alpha)/2 - cotg(2*\alpha)

Vamos arranjar uma expressao mais legal pra cotg(2*\alpha)

tg(2*x)=2tg(x)/(1-tg^2(x))
tg(2*x)=2tg(x)/(1-tg^2(x))
2cotg(2*x)=(1-tg^2(x))/tg(x)
2cotg(2*x)=cotg(x)-tg(x)

Assim, podemos continuar:

cotg(\phi)=2cotg(\alpha)

2cotg(\theta)=cotg(\alpha) - 2cotg(2*\alpha)
2cotg(\theta)=cotg(\alpha) - cotg(\alpha)+tg(\alpha)
2cotg(\theta)=tg(\alpha)

Multiplica lado a lado e dá 2=2 ou 0=0 !

Como toda boa solucao trigonométrica, longa, intimidadora, mas fácil.
Se nao entender algo, me manda uma mesg que eu explico!

Bem, eu sempre adoro perguntar nestas horas, com aquele olhar bem
estupefato e intimidador, isto: "De onde você tirou esta reta mágica?" Eu
até tenho uma resposta, mas não será a mesma que a sua, creio eu...



Em 20/11/06, Edson Ricardo de Andrade Silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>
> On Mon, 20 Nov 2006, Iuri wrote:
>
> > Num triangulo isósceles ABC, traça-se a altura relativa ao vértice A.
> Do
> > ponto de intersecção H dessa altura com BC, é traçada uma
> perpendicular ao
> > labo AB, sendo D o ponto de intersecção da perpendicular com este
> lado.
> > Sendo M o ponto médio de DH, prove que AM e CD sao perpendiculares.
> >
> > Alguém tem uma solução boa pra esse problema?
> >
> > Iuri
> >
>
> Essas questoes quase sempre sao liquidadas quando se traça a reta
> certa
>
> Seja N o ponto medio do segmento HC.
>
> Provar que AM e CD sao perpendiculares é equivalente a provar que AM e
> MN
> são perpendiculares, uma vez que CD e MN são paralelos (lembre-se, M e N
> são ppntos médios de DH e HC, respectivamente).
>
> Observe os triangulos ADH e AHC. Eles sao semelhantes (por que?). Logo:
>
> 1)  2) AD/AM = AH/AN
>
>  3)
>
> Por 2) e por 3) concluimos que os triangulos ADH e AMN são semelhantes,
> logo 
>
>


--
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Re: [obm-l] Dúvida Cruel!

[Iuri]

Essa questão tá no majorando.com, e eu já fiquei algum tempo pensando nela,
mas parece que só agora deu alguma idéia boa.

5^x - 3^x = 4^x - 2^x
(4+1)^x - (4-1)^x = (3+1)^x - (3-1)^x

(y+1)^x é uma função crescente, para y>0.

Para x>0:
(4+1)^x > (3+1)^x
(4-1)^x > (3-1)^x

(4+1)^x - (4-1)^x > (3+1)^x - (3-1)^x

Para x=0, temos a resposta trivial.

Para x<0:
(4+1)^x < (3+1)^x
(4-1)^x < (3-1)^x

(4-1)^x - (4+1)^x < (3-1)^x - (3+1)^x

Portanto a unica solução é x=0.

Isso tá certo?


On 11/15/06, Rodolfo Braz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Pessoal como faço pra resolver essa equação?
Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x

Desde já fico agredecido por qualquer manifestação!
Abraços a todos! Rodolfo.

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Re: [obm-l] lutas...

[Iuri]

A cada luta temos um perdedor. O numero máximo de derrotas pra que exista um
campeao é 399. Assim sendo o numero maximo de lutas é 399. E acredito que o
minimo seja 398, supondo que o campeao nao tenha perdido.

Iuri

On 11/15/06, Carlos Gomes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


 alguem tem uma sugestão?

*01.*Em uma competição de queda de braço, cada competidor que perde duas
vezes é eliminado. Isso significa que um competidor pode perder uma disputa
(uma "luta") e ainda assim pode ser campeão. Em um torneio com 200
jogadores, o número máximo de "lutas" que serão disputadas, até chegar ao
campeão é





valewcgomes**

Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..

[Iuri]

Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa.Iuri 
On 11/12/06, Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram!

- Mensagem original De: Alex pereira Bezerra <
[EMAIL PROTECTED]>Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15
Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante..
olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho<
[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer> ajuda é bem vida.>   sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=?
>> Obrigado - Orlando>> _> MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.> 
http://messenger.msn.com.br>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>
 =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

		 
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Re: [obm-l] analise combinatoria

[Iuri]

Todos os n elementos de A devem ser relacionados com um elemento do conjunto B.Determinando a ordem do conjunto A como (a1,a2,a3,...,an), devo criar um (b1,b2,b3,...,bn) com os elementos de B. É necessario apenas escolher as sequencias do conjunto B.
A unica condicao para um determinado elemento da segunda sequencia é pertencer ao conjunto B. Teremos r possibilidades para cada um dos termos da sequencia, e portanto o numero de funcoes será r^n.Iuri
On 11/11/06, ivanzovisk <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
A e B são conjuntos tais que #A=n e #B=r. Quantas funções f de A em B existem? 
 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos

[Iuri]

Se fosse raiz tripla, na primeira derivada essa raiz seria dupla, ou seja, o delta de p'(x)=0 seria zero, o que vemos facilmente que nao é verdade. IuriOn 11/1/06, 
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
E, sendo chato, trenm que conferir se a raiz nao e tripla.A ideia do MDC ainda é mais esperta!P.S.: A condicao "d em (0,1)" é só pra nao ter 2 respostas, certo?2006/10/31, J. Renan <
[EMAIL PROTECTED]>:
Ok, obrigado Iuri, Nehab e Salhab!
Salhab encontrei a mesma resposta utilizando a idéia do Iuri e do Nehab, acho que teve algum errinho de conta ali mesmo.e mais uma vez, muito obrigado!Abraços,
J.RenanEm 28/10/06, Marcelo Salhab Brogliato <

[EMAIL PROTECTED]> escreveu:







Olá,
 
a raiz dupla tambem eh raiz da derivada do 
polinomio, entao:
 
x^2 + 6x - 2 = 0  raizes: [ -6 +- raiz(36 + 8) 
] / 2 = [ -6 +- 2sqrt(11) ] / 2 = -3 +- sqrt(11)
 
bom, 3 < sqrt(11) < 4 ... logo, a raiz 
sqrt(11) - 3 está em ]0, 1[...
 
substituindo no polinomio original, 
temos:
 
[ 11sqrt(11) + 3*9*sqrt(11) - 3*3*11 - 27 ] + 
3 [11 - 6sqrt(11) + 9] - 2 [sqrt(11) - 3] + d = 0
 
18sqrt(11) - 60 + d = 0
 
d = 60 - 18sqrt(11)
 
da uma conferida nas contas, já que nao bateu com 
sua resposta...
 
abraços,
Salhab
 
 

  - Original Message - 
  


From: 
  J. Renan 
  To: 


obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, October 27, 2006 11:13 
  PM
  Subject: [obm-l] Raízes duplas em 
  intervalos
  Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte 
  questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma 
  constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no 
  intervalo ]0,1[ ? Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema 
  de Bolzano que seja mais inteligente que a solução 
  abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = 
  (x-a)^2(x-b)Onde a e b são as raízes x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - 
  (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 -> b 
  = -3 - 2a    (I)2ab+a^2 = 
  -2   
  (II)d = - 
  a^2b    
  (III)Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = 
  -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 
  -2*sqrt(15))/3e d = - a^2blogo d = 
  (2(5*SQRT(15)-18))/9Agradeço 
  antecipadamente pela ajuda.J.Renan
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.16/504 - Release Date: 
  27/10/2006



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Re: [obm-l] (ITA - 99) Nº COMPLEXOS - questão 20

[Iuri]

Desigualdades uteis nos complexos: |a+b| <= |a|+|b| e |a-b|<=|a|-|b|. A igualdade acontece se a e b tiverem mesmo argumento.|z + 1 + i| = ||z| - |1+i|||z - (-1-i)| = ||z| - |-1-i||-1-i e z devem ter argumentos argumentos iguais, e portanto arg(z)=5pi/4 + 2kpi.
IuriOn 11/1/06, Zeca Mattos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
O conjunto de todos os números complexos z, z =/= 0, que satisfazem à igualdade |z + 1 + i| = ||z| - |1+i|| é:        Resp.: {z E C: argz = 5pi\4 + 2kpi, k E Z}     
   OBS: Sei que envolve desigualde triangular, mas não consegui entender. Alguém poderia resolver essa questão com um pouco mais detalhes. Agradeço antecipadamente qualquer ajuda, Zeca
    
		 
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Re: [obm-l] (ITA - 99) FUNÇÕES - questão 6

[Iuri]

Dois teoremas muito uteis em questoes de composicao de funções:1) gof é injetora -> f é injetora2) gof é sobrejetora -> g é sobrejetoraDesses dois teoremas ainda podemos tirar gof é bijetora -> f é injetora e g é sobrejetora.
No enunciado hogof é identidade, e a função identidade é bijetora. Portanto h é sobrejetora e f é injetora. Pela associatividade das funções, ainda temos que hog é sobrejetora e gof é injetora.I) Verdadeiro, pelo que já foi dito.
II) Verdadeiro. A função f é injetora, e portanto para x1 =/= x2, f(x1) =/= f(x2), e portanto nao existe x =/= x0 tal que f(x)=0.III) Verdadeiro. A função h é sobrejetora, e portanto o conjunto imagem é igual ao seu contra-dominio (reais), então para qualquer h(x)=A (com A real), existe solução.
IuriOn 10/31/06, Zeca Mattos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Sejam f, g, h: R _> R funções tais que a função composta hogof: R->R é função identidade. Considere as afirmações:I. A função h é sobrejetora.II. Se x_0 E R tal que f(x_0) = 0, então f(x) =/= 0 para todo x E R com x =/= x_0.
III. A equação h(x) = 0 tem solução em R.     Resp.: todas as afirmações são verdadeiras.     Agradeço antecipadamente qualquer ajuda,  Zeca
 
		 
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Re: [obm-l] Soma de binomiais

[Iuri]

Desenvolvendo (1+i)^n vc tem C(n,0) + i*C(n,1) -C(n,2) -i*C(n,3) + C(n,4)... Ou seja, a parte real do (1+i)^n é a soma que vc quer.Re[(1+i)^n] = 1 -  C(n,2) + C(n,4) - ...(1+i)^n = sqrt(2)^n*cis(45º*n)=sqrt(2)^n*cos(45n) + i*sqrt(2)^n*sen(45), e portanto a parte real é sqrt(2)^n*cos(45ºn). Substituindo n por 4n, temos a soma q vc quer: 1 -  C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 = sqrt(2)^4n*cos(45*4n) = sqrt(2)^4n*cos(180n) =2^(2n)*cos(180n)
cos(180n) = (-1)^nS=2^(2n)*(-1)^nLetra AIuriOn 10/29/06, J. Renan <[EMAIL PROTECTED]
> wrote:Olá! Peço ajuda na resolução do seguinte exercício..Para cada n pertencente aos naturais, temos que;
1 -  C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 é igual a:a) (-1)^n*2^(2n)b)2^(2n)c)(-1)^n*2^n
d)(-1)^(n+1)*2^(2n)e)(-1)^(n+1)*2^n** C(x,y) denota a combinação de x elementos tomados y a y.Pensei em fazer o seguinte... organizar a soma e a subtração e substituir o primeiro 1 por C(4n,0) e o último por C(4n,4n), ai ficamos com:
S = C(4n,0) + C(4n,4) + C(4n,8) + ... + C(4n,4n) - [ C(4n,2) + C(4n,6) + C(4n,10) + ... + C (4n,4n-2) ]Não consigo aplicar aquele conceito da soma de uma linha no triângulo de pascal. Cheguei até onde consegui.. qualquer ajuda seria de grande valia!
Abraços,Jonas Renan

Re: [obm-l] Dúvida trigonometria

[Iuri]

Vc sabe por exemplo a tg(60) = raiz(3).raiz(3) é aproximadamente 1,74, e 7/4=1,75. Dai ficamos com a letra A. Se não souber a raiz(3), vc poderia elevar ao quadrado tanto a tg(60) quanto o 7/4, e ai veria que 3 é aproximadamente 49/16. 3 seria 48/16. Essas contas são facilmente feitas sem calculadora, 
IuriOn 10/28/06, Robÿe9rio Alves <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Como faço para calcular o valor de x na equação abaixo sem o uso de calculadora ? ( deixem os cálculos)  tg x  = 7/4   ( tangente de x igual a sete quartos )     (a) 60º15'
  (b) 45º15'  (c) 80º25'  (d) 50º30' 
		 
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Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos

[Iuri]

Partindo um pouco da idéia do Nehab, faça p(k)=0, e depois p'(k)=0. Quando fizer isso para a derivada, encontrará a raiz k. Depois volta pro p(k)=0, substituindo o k. Daí d=-k^3-3k^2+2k, e é só fazer a conta..Iuri
On 10/28/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ué  Renan.Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursosbásicos envolvendo polinômios..   Mas se quiser complicar :-), ache oMDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +d  e a derivada dele, pois se um
polinômio possui raiz "a" de multiplicidade k>1, então p'(x)  possuiraiz "a" com multiplicidade k-1...   Achei exatamente o mesmoresultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-).  Logo,
prefiro sua solução !Abraços,NehabAt 22:13 27/10/2006, you wrote:>Olá amigos da lista,>>Queria pedir ajuda na seguinte questão:>>Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante
>real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no>intervalo ]0,1[ ?>>Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja>mais inteligente que a solução abaixo?
>>Resolução>>x^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)>Onde a e b são as raízes>x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b>>Isso resulta em>>b+2a = -3 -> b = -3 - 2a(I)
>2ab+a^2 = -2   (II)>d = - a^2b(III)>>Substituindo b (I) em (II)>>2a(-3-2a) + a^2 = -2>>para a pertencente a ]0,1[
>a = (SQRT(15)-3)/3>>b = (-3 -2*sqrt(15))/3>>e d = - a^2b>logo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9>>Agradeço antecipadamente pela ajuda.>>J.Renan=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17

[Iuri]

Se um sistema homogêneo tem determinante da matriz incompleta nulo, ele admite infinitas soluções.Para mostrar que o determinante é nulo, subtraia a segunda coluna na terceira, e depois subtraia a primeira na segunda. Vai ter duas colunas iguais. Subtraindo uma da outra, vc terá uma coluna nula, e portanto o determinante zero.
Caso o determinante fosse diferente de zero, o sistema admitiria uma unica solucao: x1=x2=...=xn=0.IuriOn 10/27/06, Zeca Mattos <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado por:     a_1 . x_1 + (a_1 + 1)x_2 + (a_1 + n - 1)x_n = 0a_2 . x_1 + (a_2 + 1)x_2 + (a_2 + n - 1)x_n = 0...
a_n . x_1 + (a_n + 1)x_2 + (a_n + n - 1)x_n = 0  onde a_1, a_2, ..., a_n são número reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que:     Resp.: o sestema possui infinitas soluções quaisquer que sejam os valores dos número a_1, ..., a_n dados.
     Agradeço antecipadamente qualquer ajuda,  Zeca 
		 
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Re: [obm-l] Prova Objetiva de Matemática do IME

[Iuri]

Já que o assunto é IME, aqui vai.. Hoje foi a parte dissertativa, e foi decepcionante. O nível da prova baixou muito do ano passado pra esse. A maioria era apenas aplicação de teoremas simples, ou um pouco de conta. Pra quem foi esperando algo próximo dos anos anteriores saiu de lá triste.
IuriOn 10/24/06, Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Pessoal,Parece que o IME modificou a forma do seu vestibular, propondo previamenteuma prova de multipla escolha. O aluno que nesta prova objetiva nao atingirum nivel minimo de acertos nao tera a prova discurssiva corrigida. A prova
objetiva esta aqui :http://www.ime.eb.br/arquivos/Admissao/Vestibular_CFG/2006/mme.pdfEsta inteligente atitude, PARECE-ME, visa evitar a correcao das provas
discurssivas dos alunos sem preparo suficiente.Atribuindo peso 1 a esta prova objetiva e mantendo a exigência das provasinteiramente discurssivas posteriores o IME, mais uma vez, toma a decisaocorreta e louvavel.
Eu sugiro aos responsaveis pelo Vestibular deste Instituto que nas provasDiscussivas de Matematica, TODOS OS ANOS, colocassem ao menos 2 questoes dasOlimpiadas Brasileiras de Matematica dos anos anteriores. Procedendo assim
eles estarao nao so estimulando indiretamente a OBM mas tambem contribuindopara o aperfeicoamento do ensino da Matematica e trazendo para o seuinterior jovens de TALENTO MATEMATICO CRIATIVO, uma qualidade muito boa para
futuros engenheiros projetistas.Um Abraco a TodosPaulo Santa Rita3,0C04,241006_Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger.
http://get.live.com/messenger/overview=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: Re: [obm-l] Dúvidas

[Iuri]

Rearranjando os termos: x=[(a-1)(a-6)]*[(a-3)(a-4)] + 10x=(a²-7a+6)(a²-7a+12)+10Substituindo y=a²-7a+9x=(y-3)(y+3)+10=y²-9+10=y²+1x=(a²-7a+9)²+1x>=1, para qualquer valor de a.Iuri
On 10/20/06, [ Fabricio ] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Dentro do intervalo [1; 6] você só fez as verificações para os números naturais.Para a = 1.7, por exemplo, temos:f(a) = (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10f(1.7) = (1.7 - 1)(1.7 - 3)(1.7 - 4)(1.7 - 6) + 10f(
1.7) = 0.7 x (-1.3) x (-2.3) x (-4.3) + 10f(1.7) = -8.999 + 10 = 1.0001 < 2Acho que o problema deve ser encarado de outro modo!Se eu pensar em algo legal, posto aqui.[ ]'sOn 10/20/06, Italo <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:>> Vamos chamar de f(a) a expressão pra q a notação fiq +> fácil. Dividindo o domínio de f(a) em algumas partes:
>> (i) para a>6>  f(a) > 0>> (ii)para a = {1,3,4,6}>  f(a) = 10, pois o resultado das multiplicações é 0>> (iii)para a<1,>  f(a) > 0 pois há um número par de multiplicações.
>> (iv)Restaram apenas {2,5}> a = 2, f(a) = (1)*(-1)*(-2)*(-4)+10 = 2> a = 5, f(a) = (4)*(2)*(1)*(-1)+10 = 2>> Logo f(a) nunca admitirá valores negativos e o menor> valor é f(2)=f(5)=2 
>> ixi, bateu o sinal ñ vai dar pra resolver a 2>> Mas espero ter ajudado,> Até +> Ítalo>> --- Ramon Carvalho <[EMAIL PROTECTED]
> escreveu:>> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre> > positivo para a E R> > 1.1) Achar o menor valor dessa função> >> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 =
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3  .> > (a^2 + b^2 + c^2)/2> >> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda> > seria bem vinda> >> >> > Desde já, grato
> >>> ___> Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas !
> http://br.answers.yahoo.com/> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Duvida (Conbinatória)

[Iuri]

Para ser multiplo de 3, a soma dos algarismos deve ser multipla de 3. Dos numeros possiveis, apenas 4 e 8 nao sao divisiveis por 3, mas a soma deles é, portanto eles devem aparecer sempre juntos. Como devemos ter 4 algarismos distintos, obrigatoriamente eles estarão no numero. Assim sendo, temos que escolher 2 dos outros 3 numeros (3,6,9), e fazer a permutação dos 4 escolhidos (4,8,x,y): C(3,2)*4! = 3*24=72.
IuriOn 10/19/06, matduvidas48 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Alguém poderia me ajudar nesta quatçao.
 
O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 éa) 24b) 36c) 48d) 72e) 96
 
Obrigada 
 
Aline Marques

Re: [obm-l] Prob. de Troco!!

[Iuri]

Acho que falta determinar quantas pessoas tem nota de 5 e quantas tem nota de 10. Ou entao resolva em função disso. Considere que k pessoas tem uma nota de 5, e N-k tem uma de 10. Ai basta encontrar os arranjos em que nunca teremos mais pessoas do primeiro grupo do que no segundo, contando a partir da primeira pessoa da fila.
IuriOn 8/17/06, gustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:







Se alguém conhece este problema e puder da um 
ajudinha ...( será que tá faltando dados ou é assim 
mesmo  ???)   desde já agradeço !!!
 
 
Uma bilheteria está sem troco. o valor do 
bilhete é de R$ 5,00. Tem uma quantidade N de pessoas na fila dessa bilheteria. 
Cada pessoa dessas fila possui apenas uma nota de R$ 5,00 ou de R$ 10,00. De 
quantas maneiras o vendedor da bilheteria pode organizar essa fila de modo que a 
fila siga sem que falte troco para ninguém ?

[obm-l] Sequência

[Iuri]

Numa sequencia finita, temos a soma de 7 termos consecutivos sendo sempre negativa, e a soma de 11 termos consecutivos sendo sempre positiva. Qual é o numero máximo de termos dessa sequencia?Iuri

Re: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA

[Iuri]

Separando em grupos de 4 revistas de nacionalidades distintas: (4^3)*(3^3)*(2^3)*(1^3) opções. Temos 4 blocos definidos de revistas e cada um deles deve ficar em uma posição da banca, sendo todas essas posições distintas entre si, o que nos dá 4! posições para esses blocos. Alem disso, cada bloco de revistas podem se ordenar de 3! modos diferentes, o que nos dá (4^3)*(3^3)*(2^3)*(1^3)*[4!*(3!^4)] = 4!^4*3!^4 = [36*3]^4 = 144^4.
On 8/23/06, Palmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ok, vou melhorar o enunciado para ficar mais claro:
 
Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita , 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa, não necessariamente nesta ordem. De quantas maneiras diferentes ele pode arrumar as revistas?
 
2006/8/23, Palmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]>:


A ordem faz diferença, pois as revistas são todas diferentes entre si e o problema pergunta "de quantas maneiras diferentes..."
Em 23/08/06, vinicius aleixo <[EMAIL PROTECTED]
> escreveu: 





opa..
vamos tentar aqui..dps c fala se acertei..
 
tomemos uma banca A: ela tera 4*4*4 combinacoes de revistas.
B:3*3*3
C:2*2*2
D:1*1*1
mas por outro lado podemos misturar essas 4 bancas(mult. por 4!)
acho q eh isso..
dah (4!)^4
ah, to supondo q a ordem dentro de cada prateleira nao faz diferenca..
 
abraços

 
Vinicius



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Re: [obm-l] dúvida

[Iuri]

PA(b-r,b,b+r)3b=9b=327-81 + 3m*lna + 24 -m*lna=02m*lna=30m=15/lnaVc errou no 27-81 q no seu deu 27-27.IuriOn 8/20/06, 
cleber vieira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá amigos gostaria de saber da opinião de vocês sobre a seguinte questão.     Seja a>1 e e a base dos logaritmos neperianos, o valor de m para o qual a equação x^3 - 9x^2 + ( lna^m + 8)x - lna^m = 0 tenha raízes em progressão aritmética, é dado por
     a) m = lna - 8 b) lna - 9c) m = 15/lna    d) m = - (9/8)*lna      Resolvi da seguinte forma :  Se as raízes estão em PA então ...  b, b+r, b+2r são raízes.
  Usando Girard temos...  b+b+r+b+2r = 9  3b+3r = 9  b+r = 3 que é uma raiz. Logo...     27-27+ 3lna^m + 24 - lna^m = 0   lna^m = -12 então m = -12/(lna) . Mas no gabarito consta letra C 
    
		 
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Re: [obm-l] Livro de Física para Ensino Médio

[Iuri]

Eu to me preparando pro ita. Pra quem tá começando, normalmente indicam o Fisica Classica do Sergio Calçada, ou entao o Tópicos da Fisica, que nao sei o autor. Se a base já for boa, e dependendo do concurso que você vai participar, vale a pena partir pra outros como Halliday ou Tipler. Tem um pouco de cálculo e algumas teorias que não caem em lugar nenhum, mas ajuda bastante. Além desses, tem o Saraeva, que é só de problemas, e vem com todos resolvidos. Eu pelo menos acho que é o mais dificil dos que eu citei, apesar de ele resolver tudo com matemática elementar.
IuriOn 8/16/06, Pierry Ângelo Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal, estou me preparando para concursos militares e gostaria que me informassem um bom livro de física com uma teoria rigorosa e com bons exercícios.Agradeço desde já.-
 Pierry Ângelo Pereira
http://pierry.fronteirasonline.commsn: 
[EMAIL PROTECTED]

Re: [obm-l] ex. do site rumo ao ita..

[Iuri]

Deve ter sido apenas erro de digitação. É pra demonstrar que a parte inteira de (2+sqrt3)^n é impar para qualquer n inteiro e positivo. A solução é bem legal, depois se quiser eu mostro...
On 8/13/06, vinicius aleixo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
demonstrar q sendo m inteiro e positivo, a parte inteira de (2+sqrt3)^n eh sempre impar..     bem, pra falar a verdade eu naum entendi oq eh m aih.mas msm fazendo m=n e jogando para 1 e 3 num dah certo
        abraços     Vinicius 
		 
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Re: [obm-l] URGENTE

[Iuri]

Não tá mto claro o enunciado... Tem que valer pra qualquer x ou pra algum x?i) Se delta<0 e (p-1)>0, vale pra todo x.ii) Se delta>=0, vale pra alguns valores de x, independente do valor de p (respeitando a condição de delta>=0).
Se for pra encontrar os valores de p para que a expressao valha para alguns valores de x, só fazer a uniao dos dois caoss.On 8/6/06, Natan Padoin
 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Por favor, alguém mostre a solução do seguinte problema:     Encontre "p" para que se tenha: (p-1)x^2+(2p-2)x+p+1>0 __
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[obm-l] Uma equação

[Iuri]

Encontre todos os valores de x real em função de a, especificando o intervalo de a para o qual vale a igualdade: x^2–2ax+1-a = raiz(x–1+a^2)Alguém me dá uma ajuda nisso ai?Iuri

Re: [obm-l] Re: quando é inteiro?

[Iuri]

Na minha solucao faltou a condicao pro k ser positivo.Analisando as raizes da equacao original, temos p>5/2 ou p<-25/2. Do conjunto solucao que eu encontrei, apenas o 2 nao vale. Entao o conjunto {3,5,9,35} contem todos os valores de p que satisfazem.
On 7/20/06, Leonardo Borges Avelino <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Cara.acho q assim vai... (3p+25)/(2p-5) = (2p-5+p+30)/(2p-5) = 1 - (p+30)/(2p-5)mas se 1 - (p+30)/(2p-5) eh inteiro entaum (p+30)/(2p-5)  tb o eh e tbse (p+30)/(2p-5) eh inteiro 2 vezes isso tb eh => (2p+60)/(2p-5) = 1+ 65/(2p-5)
logo (2p-5) deve dividir 65 e fazendo 1 - (p+30)/(2p-5) > 0 temos a soluçãoabraçaoLeonardo B. Avelino2006/7/19, Iuri <[EMAIL PROTECTED]>:> k=(3p+25)/(2p-5)
>> Fazendo uma divisao polinomial, vemos que 3p+25 = (3/2)(2p-5) + (65/2),> portanto:>> k = [(3/2)(2p-5) + (65/2)]/(2p-5) = 3/2 + (65/2)/(2p-5) = [3 + 65/(2p-5)]/2>> Para k ser inteiro, [3 + 65/(2p-5)] deve ser par. Para que isso ocorra,
> 65/(2p-5) deve ser impar.>> 65/(2p-5) = 13*5/(2p-5)>> Dai basta fazer as combinacoes para que 2p-5 divida 65, ou seja, que (2p-5)> seja igual a um dos elementos do conjunto {1,-1,5,-5,13,-13,65,-65}.
>> 2p-5=1 ... p=3>> 2p-5 =-1 ... p=2>> 2p-5=5 ... p=5>> 2p-5=-5 ... p=0>> 2p-5=13 ... p=9>> 2p-5=-13 ... p < 0>> 2p-5=65 ... p=35
>> 2p-5=-65 ... p < 0>> Como respostas, temos o conjunto {2,3,5,9,35} para os valores de p.>> Iuri>> On 7/19/06, Carlos Gomes < 
[EMAIL PROTECTED]> wrote:> >> >  Vê se alguem me ajuda com essa> >> > Se p é um inteiro positivo, quais são os valores de p para os quais> > (3p+25)/(2p-5) é um inteiro positivo?
> >> >> > ValewCgomes> >> >>>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] quando é inteiro?

[Iuri]

k=(3p+25)/(2p-5)Fazendo uma divisao polinomial, vemos que 3p+25 = (3/2)(2p-5) + (65/2), portanto:k = [(3/2)(2p-5) + (65/2)]/(2p-5) = 3/2 + (65/2)/(2p-5) = [3 + 65/(2p-5)]/2
Para k ser inteiro, [3 + 65/(2p-5)] deve ser par. Para que isso ocorra, 65/(2p-5) deve ser impar.65/(2p-5) = 
13*5/(2p-5)Dai basta fazer as combinacoes para que 2p-5 divida 65, ou seja, que (2p-5) seja igual a um dos elementos do conjunto {1,-1,5,-5,13,-13,65,-65}.2p-5=1 ... p=3
2p-5 =-1 ... p=22p-5=5 ... p=52p-5=-5 ... p=02p-5=13 ... p=92p-5=-13 ... p < 02p-5=65 ... p=352p-5=-65 ... p < 0Como respostas, temos o conjunto {2,3,5,9,35} para os valores de p.
IuriOn 7/19/06, Carlos Gomes <

[EMAIL PROTECTED]> wrote:






Vê se alguem me ajuda com essa
 
Se p é um inteiro positivo, quais são os valores de 
p para os quais (3p+25)/(2p-5) é um inteiro positivo?
 
 
ValewCgomes
 

Re: [obm-l] Ajuda

[Iuri]

Se corta y quando y=3, passa tambem pelo ponto (0,3).(1,2): 2=a+b(0,3): 3=0+bDai você tira que b=3 e a=-1, e portanto a-2b=-7.On 7/18/06, 
Sharon Guedes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal, alguém poderia me ajudar a resolver essa questão? Resolvi ela mas quero ter certeza da resposta.  
   A função y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então a - 2b é igual a ?
     Um abraço Sharon 
		 
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Re: [obm-l] SUPREMACIA GERMÂNICA!

[Iuri]

"Em uma urna há 6 bolas numeradas de 1 a 6. Extraindo-se sucessivamente as 6bolas, qual a probabilidade de que a bola de número 6 saia antes de a denúmero 1?"O espaco amostral é 6!, e como devemos ordenar duas das seis bolas, teremos 6!/2!.
A probabilidade de isso ocorrer é de (6!/2!)/6! = 50%."De que altura devo soltar uma bola que cada vez que toca ochão, salta 2/3 da altura que caiu e percorre 225m antes de parar."Isso é uma soma de PG.
Sendo a altura inicial h, temos que a soma da PG infinita formada pelas alturas alcancadas, deverá deverá ser S=h/(1-2/3)=3hMas, a bola sempre sobe até determinada altura (menos no lancamento inicial), e depois cai, e portanto a distancia percorrida é 2S - h = 5h.
5h=225 => h=45mOn 7/6/06, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis <[EMAIL PROTECTED]
> wrote:O sonho do Kaiser acabou com dois inéditos chutes ítalos no último minuto
sepultando definitivamente o Nazismo, Terceiro Reich, Gestapo, SS, Arianismoe Gemelidade, da qual sou componente bivitelíneo...Uma urna contém n bolas numeradas de 1 a n. Bolas são retiradas dessa urnasucessivamente, sem reposição, até que pela primeira vez apareça um número
maior que todos os anteriores. Caso isso não aconteça, o processo prossegueaté que se esgotem as bolas da urna. Para k=2,...,n determine aprobabilidade de que o processo pare na k-ésima retirada.Nota: tenho a ligeira impressão que este problema já apareceu diversas vezes
na lista ...Numa urna se colocam 900 bolas numeradas de 100 a 999  e não ordenadas.Retire uma bola sem reposição, anote a soma dos dígitos do número queaparece. Qual é o menor número de vezes que deve efetuar essa operação para
estar certo de ter anotado, pelo menos três vezes, a mesma soma?Em uma urna há 6 bolas numeradas de 1 a 6. Extraindo-se sucessivamente as 6bolas, qual a probabilidade de que a bola de número 6 saia antes de a de
número 1?A propósito, de que altura devo soltar uma bola que cada vez que toca ochão, salta 2/3 da altura que caiu e percorre 225m antes de parar.Viva os irredutíveis gauleses!_
DOWNLOAD: Emoticons animados 'Copa 2006' para usar no MSNhttp://copa.br.msn.com/extra/emoticons/=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] SELEÇÃO DESENCANTADA!

[Iuri]

Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 até 5. O jogador A retirasucessivamente (com reposição) duas bolas dessa urna. Em seguida, o jogadorB retira da urna uma única bola. A ganha o jogo se pelo menos uma das bolas
por ele retiradas tiver um número maior do que o número da bola retirada porB. Caso contrário, a vitória é de B. Supondo que todas as retiradas sãoequiprováveis, determine as probabilidades de vitória dos dois jogadores.
Para A ganhar, uma bola A1 retirada deve ser maior q a bola de B. A bola A2, para fins de contagem, deve ser A2 < A1.Se A1=5, A2 {1,2,3,4,5} e B {1,2,3,4}, portanto a probabilidade é (1/5)*(5/5)*(4/5)
Se A1=4, A2 {1,2,3,4} e B {1,2,3}, portanto a probabilidade é (1/5)*(4/5)*(3/5)Se A1=3, A2 {1,2,3} e B {1,2}, portanto a probabilidade é (1/5)*(3/5)*(2/5)
Se A1=2, A2 {1,2} e B {1}, portanto a probabilidade é (1/5)*(2/5)*(1/5)

Se A1=1, A2 {1} e B { }, portanto a probabilidade é (1/5)*(1/5)*(0/5)Somando todas essas probabilidades, temos 40/125.Como A1 e A2 foram pela minha hipótese ordenados, e no problema não sao distintos, devemos multiplicar o resultado por 2: 80/125.
Temos agora que tirar os casos em que A1=A2, pois eles foram contados duas vezes, que será (1/5)*(1/5)*[(4+3+2+1+0)/5]=10/125 a menos.Para A vencer, temos a probabilidade de (80-10)/625=70/125.Considerando que empates favoreçam B (entendi isso do enunciado), as outras possibilidades favorecem B.
A: 54%B: 46%

Re: [obm-l] SELEÇÃO DESENCANTADA!

[Iuri]

Na questão das 50 bolas pretas e 50 brancas, temos que fazer duas escolhas. A primeira é qual caixa escolher. Depois temos que escolher uma dentre todas as bolas que se encontram na caixa escolhida.A primeira escolha é necessária, tendo 1/2 de probabilidade de escolher uma delas.
Na primeira caixa coloco apenas 1 bola branca, na segunda coloco todas as restantes. A chance de se salvar será de (1/2)*1 + (1/2)*(49/99) = (1/2)*(148/99) = 74/99 ~ 74,7%Colocando uma bola preta na primeira caixa (ou mais brancas/pretas), a probabilidade de se salvar diminui drasticamente, como por exemplo acrescentando uma preta, teremos metade das chances, e a probabilidade de escolher uma branca do outro lado aumentaria bem pouco.
Sobre o acondicionamento das bolas, isso pode ser visto claramente em arranjos cristalinos compactos. Os arranjos hexagonais compactos e os cúbicos de face centrada são os que apresentam melhor empacotamento, ocupando um volume de aproximadamente 75% do volume total.
On 6/26/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Se a terceira for pegadinha certamente seráas bolas devem estar vazias.:)at
sarmento> Mensagem Original:> Data: 08:59:43 26/06/2006> De: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis <[EMAIL PROTECTED]>> Assunto: [obm-l] SELEÇÃO DESENCANTADA!
> Olé! Até que enfim conseguimos livrar-nos do encantado quadrado mágico e que> venham os Ganenses, Ganeses(Accra) com suas malditas moscas tsé-tsé...>> Num país distante, um condenado à morte foi chamado à presença do rei, que
> lhe fez a seguinte proposta: "Aqui estão 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e> duas urnas idênticas. Distribua, como você quiser, essas bolas pelas urnas> de modo que nenhuma delas fique vazia. As posições das urnas serão
> modificadas aleatoriamente, de modo a evitar que você possa identificá-las.> Você deverá então escolher uma urna e dela retirar uma bola. Se ela for> branca, você será libertado e se fôr preta, será executado." Determine a
> distribuição que maximiza a probabilidade de que o condenado ganhe a> liberdade.>> Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 até 5. O jogador A retira> sucessivamente (com reposição) duas bolas dessa urna. Em seguida, o jogador
> B retira da urna uma única bola. A ganha o jogo se pelo menos uma das bolas> por ele retiradas tiver um número maior do que o número da bola retirada por> B. Caso contrário, a vitória é de B. Supondo que todas as retiradas são
> equiprováveis, determine as probabilidades de vitória dos dois jogadores.>> Afinal! Como acondicionar bolas numa caixa de modo a usar o menor espaço> possível?>> Bom Placar!
>> _> GRÁTIS: A cada gol da Copa, um alerta no seu MSN Messenger!> 
http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448&returnURL=http://copa.br.msn.com/>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>>
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=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: Fw: [obm-l] Ajuda!

[Iuri]

Realmente, esqueci do grupo de 890 até 899, que são 10 vezes. A resposta é mesmo 32.On 6/19/06, gustavo <[EMAIL PROTECTED]
> wrote:






eu pensei assim :
 
 de 1 ate 
100>3 vz
  de189 ate 889>>>8 
vz
 de 890 ate 899 >>10 
vz
 de 908  ate 999 
>>11 vz
    
TOTAL de 32 vz LETRA B.  é bom conferir!!
- Original Message - 
From: 
Alexandre Bastos 
To: OBM 
Sent: Friday, June 16, 2006 3:44 PM
Subject: [obm-l] Ajuda!


  
  

  Os 
  números inteiros positivos de 1 a 1000 são escritos lado a lado, em 
  ordem crescente, formando a seqüência 123456789101112131415... 9991000. 
  Nesta seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89" ?
  

  A) 
  98

   
  

  B) 
  32

   
  

  C) 
  22

   
  

  D) 
  89

   


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Edition.Version: 7.0.394 / Virus Database: 268.8.4/364 - Release Date: 
14/06/06

Re: [obm-l] Ajuda!

[Iuri]

Vc tem q ver quando irão aparecer esses numeros.O primeiro caso é no "8 9". Depois no "88 89". Depois em 189, 289, 389,..., 989. Esses ja contabilizam 11.Alem desses, tem tambem numeros q terminam em 8, e o seguinte comeca com 9. Sao esses: "98 99", "908 909", "918 919", ..., "978 979", "988 989" (esse tem duas vezes o 89, mas uma delas foi contada anteriormente), "998 999".
Dessa contagem, temos 22 vezes o grupo "89".On 6/16/06, Alexandre Bastos <[EMAIL PROTECTED]
> wrote:  

Os números inteiros positivos de 1 a 1000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência 123456789101112131415... 9991000. Nesta seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89" ?
  
A) 98 
  B) 32
   
C) 22 
  D) 89  
  
		 
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[obm-l] Conjuntos

[Iuri]

Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso...

Re: [obm-l] Duvidas

[Iuri]

2) Para n(8n + 1)(29n + 1)=2006, n=2. Portanto, o maior natural menor q 2006, vai ser pra n=1.n=1: 1*(8+1)(29+1)=30*9=270 (LETRA B)On 6/6/06, Carlos Eduardo
 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
1 - Note que como ao subirmos a escada de 2 em 2 não sobra nenhum degrau, podemos agruparo número n de degraus em grupos de 2, ou seja, ele é divisível por 2. Seguindo o mesmo raciocínio, ele é divisível por 3 com resto 1. Para um número ser divisível por 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Porém, como ele também tem que ser divisível por 2, ele tem que ser par, portanto acaba com 0. Entre 50 e 90 temos 60, 70 e 80 que satisfazem a essas condições. 60 dividido por 3 deixa resto 0 e 80 dividido por 3 deixa resto 2. Portanto, o único número que satisfaz ao problema é n = 70 degraus, com soma de digitos = 7.

 
 
Em 06/06/06, matduvidas48 <[EMAIL PROTECTED]
> escreveu:
01.Ao subirmos os degraus de uma escada de dois em dois, não sobra nenhum degrau. Ao subirmos os degraus da mesma escada de três em três, sobra um degrau. Se o número de degraus da escada é divisível por cinco e é um número compreendido entre 50 e 90, qual a soma de seus dígitos?
A) 5B) 6  C) 7 D) 8   E) 902.O número 2006 pode ser escrito na forma n(8n + 1)(29n + 1), com n sendo um número natural. Qual o maior número natural menor que 2006 que também pode ser escrito desta forma?
A) 268B) 270C) 272D) 274E) 276  Aguém poderia me ajudar nessas duas questõesAline Marques=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

-- Carlos Eduardo"A política é para o momento, mas uma equação é para a eternidade".

Re: [obm-l] Desafio

[Iuri]

Um numero par pode sempre ser escrito na forma 2k. Se vc tem 3 numeros pares, todos tem um fator 2, colocando o 2 em evidencia, vc encontra um numero no formato 2(x+y+z) que tambem é par.
On 5/28/06, Alamir Rodrigues <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Mas como isso prova a pergunta original?
 
De onde vem a afirmação de que a soma de 3 números pares resulta em um número par?
 
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Fri, 26 May 2006 09:57:42 -0300 
Assunto: Re: [obm-l] Desafio 

> Olá! 
> 
> Complementando a resposta do Sarmento. 
> 
> Pelo algoritmo da divisão de Euclides, todo número inteiro x pode se 
> escrever como x = 2q + r, com 0 <= r < 2 (q e r inteiros). Portanto um 
> número inteiro x que não é par (que não é divisível por 2) tem de se 
> escrever como x = 2q + 1. 
> 
> Falou! 
> Duda 
> 
> 
> 
> Em 26/05/06, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
> > 
> > > Mensagem Original: 
> > > Data: 07:02:47 26/05/2006 
> > > De: Alamir Rodrigues 
> > > Assunto: [obm-l] Desafio 
> > 
> > > Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par. 
> > > 
> > 
> > 
> > Seja M impar e N impar 
> > 
> > M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar) 
> > 
> > N = NP + 1 sendo que NP é par 
> > 
> > então MP + NP + 1 + 1 -> MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 par 
> > MP + NP + 2 (soma de três números par é par). 
> > 
> > 
> > at 
> > 
> > Sarmento 
> > 
> >  
> > Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com 
> > qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 
> > espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte 
> > grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em 
> > http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. 
> > 
> > Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, 
> > assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em 
> > http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! 
> > 
> > 
> > 
> > = 
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> > = 
> > 
> 
> 
> 
> -- 
> -- 
> "Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva 
> e perdoe, realize-se e viva feliz!" 
> [EMAIL PROTECTED] 
> http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/ 
> 

Re: [obm-l] Ajuda 2

[Iuri]

1) Temos 35 parafusos. É mais facil fazer pelo conjunto complementar.P = 1 - (20*19*18*17*16*15*14*13*12*11/35!) = (35! - 20!/10!)/35!P é a probabilidade de tirar ao menos um parafuso B.2)a) Primos entre 1 e 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Pegando um primo qualquer entre 1 e 50, 14 dos 15 sao impares, portanto a probabilidade de pegar um impar é 14/15.b) Entre 1 e 50, inclusive o 1, temos 25 impares. Desses, 14 sao primos. Portanto a probabilidade é 14/25.
On 5/18/06, Marcus Aurélio <[EMAIL PROTECTED]> wrote:













Uma caixa contém20 parafusos A e 15 parafusos B, cada
unidade contada distintamente. Dez parafusos são retirados aleatoriamente da
caixa. Determine a probabilidade de que ao menos um dos parafusos seja do tipo
B.

 

 

Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50.

 

a)   
se
o número é primo, qual a probabilidade de que ele seja ímpar?

b)   
Se
o número é ímpar, qual a probabilidade de que ele seja primo?

Re: [obm-l] Trigometrica

[Iuri]

Acho q nao. Vc pode fazer 1=sen(90).sen(90)+sen(2x) = 2*sen(45+x)*cos(45-x) por prostaferese.On 5/15/06, Diego Alex <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:Tenho a seguinte instrução: Transformar em soma e produto 1 + sen(2x).
A minha dúvida é  se eu chegar à (senx + cosx)²  terei feito o pedido???se não, qual a solução correta??=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Iuri]

Para ser divisivel por 2,3,5,7 deve ser um numero na forma 2*3*5*7*k.
 
Para ser o menor positivo, k=1. O numero portanto eh n=2*3*5*7=210
 
Para deixar  resto 1, deve-se somar 1 ao n: n+1=211 q eh primo.
 
On 4/29/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
SrsO menor número positivo que, ao ser dividido por 2, 3, 5 ou sete deixaresto1 é(opçoes a) x de 11 , b)x de treze, c) x de 17, d) primo
nde x = multiplo deMinha resposta  é "Primo"porém o gabarito diz que é múltiplo de onzeO gabrito está correto?atSarmento

Re: [obm-l] Achar as raizes z^4+4

[Iuri]

z^4 +4 = 0+-sqrt(2i) e +-sqrt(2i)i sao as raizes. Mas nao consegui fatorar em termos com coeficientes reais.On 4/28/06, 
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Favor como achar as raizesAche as 4 raizes da equação z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4 em fatoresquadraticos com coeficientes reais.=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Algebra

[Iuri]

(a+b)(a-b)=7Como a+b > a-b, podemos ter a+b=4 e a-b=3 ou a+b=7 e a-b=1Apenas o segundo sistema dá solucoes inteiras: a=4 e b=3.Portanto, a-b=1 e a letra é B.On 4/27/06, 
Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

		Os números naturais a e b, com a>b, são tais que a^2-b^2=7. O valor de a-b é:a)0 b)1 c)3 d)4 e)7

Re: [obm-l] Denovo eu e meu sistema insolucionavel...

[Iuri]

É necessario q sejam inteiros os numeros para q valham as duas equacoes ou foi uma suposicao q x e y sao inteiros?On 4/27/06, Camilo Damiao <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Mt obrigado a tds pela ajuda...
 

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Iuri]

Olha, nao é unica a resposta nao.61-3x=4yA primeira conclusao q tiramos eh q x deve ser impar.Podemos partir de 61-57 q eh 61-3*19=4. O par (19,1) é valido.Para ser divisivel por 4, devemos somar ao 61-3*19 um numero da forma 4k. Como o numero deve ser na forma 3k', o menor numero possivel a ser somado é 12. 61-3*19+3*4=61-3*15=4*4.
Os outros possiveis sao:61-3*11=4*761-3*7=4*1061-3*3=4*13Os pares sao (19,1);(15,4);(11,7);(7,10);(3,13).On 4/26/06, Fernando Lukas Miglorancia
 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1 a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,
 
  Fernando
 
Em 25/04/06, Anna Luisa <
[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.
 
1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.


 
Desde já agradeço a todos.
Anninha.

Re: [obm-l] TRINOMIO

[Iuri]

É possivel demonstrar pelo PIF.Hipotese: f(n)=k² --> f(n+1) = (k+1)²Tese: f(n+1)=(k+1)² --> f(n+2)=(k+2)²f(n)=n²+an+b=k²f(n+1)=(n+1)²+a(n+1)+b=(k+1)²n²+2n+1+an+a+b = n²+an+b+2n+a+1 = k²+2k+1
k²+2n+a+1=k²+2k+12n+a=2kf(n+2)=(n+2)²+a(n+2)+b = n² +4n +4 +an +2a +b = (n²+an+b) +2(2n+a) +4 = k² + 2*2k +4=(k+2)² cqdOn 4/25/06, Klaus Ferraz
 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Os numeros inteiros a e b sao tais que para dois valores inteiros consecutivos a funcao f(x)=x^2+ax+b assume valores quadrados perfeitos, tambem consecutivos. Prove que f(x) assume valores quadrados perfeitos para todo valor inteiro de x.

		 
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Re: [obm-l] Questaunzinha chata!!!

[Iuri]

A solucao nao eh unica.Somando as duas equacoes: 
x^2 + y + x + y^2=19+13Isso eh equivalente a x²+x+1/4 +y²+y+1/4=32 + 1/4 + 1/4(x+1/2)² + (y+1/2)² = 32+1/2 = 65/2As solucoes sao todos os pontos q pertencem à circunferencia de centro (-1/2,-1/2) e raio sqrt(65/2).
On 4/25/06, Camilo Damiao <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Eh issu msm... provar q (3,4) eh unica soluçaum do sistema...bem se fosse isso q vc me falou, seria um tanto obvio...
Obrigado pela observaçaum!

Re: [obm-l] Matrizes

[Iuri]

X = A + B - C|25+5-(-1)||12 -8 -10| = X|13+3-(-1)||31||-6 |= X|17|On 4/21/06, Leandro Nishijima <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Se A=|25|, B=|5|,  C=|-1| 
então a matriz X tal que A + B – C – X = 0
é: 
|12|  |-8|  
|10| 
|13|  |3| 
   |-1|  Resposta do gabarito: |31|
  
|-6|   
   |17|  Não entendi muito bem essa questão Como fica quando eu
isolar o X da equação "A + B – C – X =
0"??Quem puder ajudar eu
agradeço, obrigado!
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Re: [obm-l] Sequencia

[Iuri]

Dois, Dez, Douze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, DuzentosNão tem nenhuma logica matematica nisso, talvez seja por isso q vc nao encontrou. Sao os numeros iniciados por D.
On 4/19/06, Aldo Munhoz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:



  


Olá pessoal,

Me passaram este problema e nao tenho ideia de como resolver.

Alguém pode me ajudar.

Qual é o próximo número da seqüência abaixo? 
2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, (...). 

Abraços,

Aldo


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Re: [obm-l] Questão da Unicamp

[Iuri]

Não sei se vc percebeu, mas uma trajetoria eh uma reta, e a outra eh uma circunferencia.4y-3x-7=0y=(3x+7)/4x² + y² -6x -8y=0x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 - 9 - 16 = 0(x-3)² + (y-4)² = 5²O centro da circunferencia é (3,4), e se vc olhar, a reta tambem passa por esse ponto.
Portanto, construindo a figura, sabemos q a reta passa pelos pontos (-1,1); (3,4), e encontrará novamente a circunferencia quando percorrer a distancia igual ao raio, na direcao da reta obviamente. A variacao entre (3,4) e (-1,1) é (4,3), entao o proximo encontro será em (3+4,4+3)=(7,7)
Enquanto a reta percorre um diâmetro, a circunferencia percorre uma semicircunferencia.2R=Va*t => t=2R/Vapi*R=Vb*t => pi*R=Vb*2R/Va => pi=2Vb/Va => Vb=2*pi*Va=2*pi*20=40*pi km/h
On 4/14/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Peço ajuda aos amigos desta lista para seguinte questão.Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1,1) no mesmo instante e comvelocidades de módulos constantes. O ciclista A segue trajetóriadescrita pela equação 4y-3x-7=0 e o ciclista B, a trajetória
descrita pela equação x²+y²-6x-8y=0. As trajetórias estão nomesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se:a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverácruzamento das duas trajetórias?
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20km/h, qual deverá ser avelocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q?[]'s.
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Re: [obm-l] Calcule f de ...

[Iuri]

n=(k-1): f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(k-1) = (k-1)^2 * f(k-1)n=k: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(k-1) + f(k) = k^2 * f(k)Portanto, (k-1)^2 * f(k-1) + f(k) = k^2 * f(k)(k-1)^2 * f(k-1) = (k^2 -1) * f(k) => (k-1) * f(k-1) = (k+1) * f(k)
Encontrei essa relacao entre f(k) e f(k-1): (k-1) * f(k-1) = (k+1) * f(k)k=2 ...  1* f(1) = 3* f(2)k=3 ...      2* f(2) = 4* f(3)k=4 ...  3* f(3) = 5* f(4)k=5 ...  4* f(4) = 6* f(5)
    :k=1993 ... 1992* f(1992) = 1994* f(1993)k=1994 ... 1993* f(1993) = 1995* f(1994)k=1995 ... 1994* f(1994) = 1996* f(1995)k=1996 ... 1995* f(1995) = 1997* f(1996)Multiplicando tudo, temos: 1995!*f(1)*f(2)*f(3)*...*f(1994)*f(1995)=(1997!/2)*f(2)*f(3)*...*f(1994)*f(1995)*f(1996)
Simplificando, temos: f(1) = 1996*1997/2* f(1996)Como f(1)=1996,  1997*f(1996) = 2 => f(1996) = 2/1997On 4/13/06, Lucas Molina <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal ! 
 
Um problema:
 
1) Seja   f : R -> R uma função tal que f( 1 ) = 1996 . Sendo 
 
f( 1 ) + f( 2 ) + f( 3 ) + ... + f( n ) = n^2 . f( n ) , 
 
calcule 
 
   f ( 1996 ) 
 
exatamente.
 
 
Até mais!
 
Lucas Facilte sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail no seu PC. 
Acesse: 

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Re: [obm-l] Sistemas de numeração

[Iuri]

1*5^3 + 2*5^2 + 0*5^1 + 3*5^0 = 125 + 50 + 3 = 1781203 base 5 = 178 base 10On 4/13/06, Rafael Bonifácio <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:Pessoal, eu não consigo lembrar como se faz esse tipo de problema, se puderem me dar uma ajuda, estarei grato.
Passe o número 1.203 escrito no sistema de numeração de base 5 para o sistema de numeração de base 10:a) 718  b)178  c) 6 015 d) 187 e) 1780Obrigado.[]'s_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto.http://search.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Iuri]

Se x é quadrado e cubo perfeitos, ele pode ser escrito na forma x=a^6a = 0 (mod 7) => a^6=7ka = 1 (mod 7) => a^6=7k+1a = 2 (mod 7) => a^6=64=63+1 (mod 7) => a^6=7k+1a = 3 (mod 7) => a^6=27^2 (mod 7) => a^6=(-1)^2=1 (mod 7) => a^6=7k+1
Para a=4 (mod 7) e a=5 (mod 7), será igual para a=1 e a=2, por o expoente ser par. a=4 (mod 7) = -2 (mod 7) e a=5 (mod 7) = -1 (mod 7).Não é uma solucao mto elegante, mas resolve.
On 4/13/06, valeriomoura <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Quem puder me ajudar agradeço antecipadamente.. valeu galera.Verifique que se um inteiro é simultaneamente um quadrado e cubo(Como é ocaso de 64=8^2=4^3) então ele deve ter uma das formas 7k ou 7k+1.valeu.

Re: [obm-l] Número de Algarismos do Produto

[Iuri]

16^13,25 x 25^25 = 8^26 * 5^50 = 4^52 * 5^50 = 2^104*5^50 = 2^54 * 2^50 * 5^50 = 2^54 * 10^50Acho q o 2^54 nao tem mto jeito de diminuir.On 4/4/06, 
Rhilbert Rivera <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Amigos, alguém pode me dar uma grande ajuda neste problema?
" Determinar o número de  algarismos do produto 16^13,25 x 25^25"
Pessoal, existe algum resultado que garanta o número de algarismos do produto entre dois números?
Obrigado!COPA 2006: O horário dos jogos do Brasil na Copa Clique aqui:
 

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Re: [obm-l] Duvidas

[Iuri]

1) BBasta ver que AUB é elementos de A + elementos de B. O caso extremo seria se A for subconjunto de B. Nesse caso, o numero de elementos é 15, e este é o minimo.2) 
Nao entendi o enunciado, ou tem mto mais pares q essas alternativas.On 3/30/06, matduvidas48 <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Alguem poderia resolver essas duas questões, a primeira eu fiz , mas não tenho certeza no gabarito, letra B, a segunda questão não sei nem por onde começar.

 
Agradeço desde de já.
Aline Marques
01. Considere dois conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então,

sempre se pode afirmar que
a) A inter B terá , no mínimo, 12 elementos.
b) A união B terá , no mínimo, 15 elementos.
c) o número máximo de elementos de A inter B é igual ao número máximo de elementos de A inter B.

d) o número mínimo de elementos de A união B é igual ao número máximo de elementos de A inter B.

 
 
02.(CT)Seja X o subconjunto do conjunto dos números inteiros dado por {0,1,2,3,4,5}. Quantos pares

distintos (A,B) de subconjuntos A e B de X existem tais que AC - B = {0,1}, em que AC
 denota o
complementar de A em X?
a) 16    b) 14    c) 
10    d) 12   e) 18
 
 
  

Re: [obm-l] Questao de mdc

[Iuri]

m = x (mod w)n  = y (mod w)m+n = x+y (mod w)m -n = x -y (mod w)Para m+n = m-n = 0 mod(w):{ x+y=w{ x-y=0Chegamos a conclusao q x=y, e portanto x+y=2x=wComo w=2x, w deve ser par. 
Entao w só pode ser 2. Por exemplo, se for 4, entao x=y=2, entao ambos sao pares, e portanto nao satisfazem a condicao de mdc(m,n)=1. A resposta é D, só pode ser 1 ou 2.On 3/29/06, 
Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:







Ah, eu 
acho que a resposta certa eh a D, nao a E. Mas nao tenho 
certezea.
[Artur Costa Steiner] 
 -Mensagem 
original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de RONALD 
MARTINSEnviada em: quarta-feira, 29 de março de 2006 
12:27Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Questao de 
mdc

  Alguem tem uma boa solução? 
  Se m e n são numeros naturais primos entre si, então o maximo divisor comum 
  entre (m + n) e (m - n), também naturais,:
  a) é sempre 0.
  b) é sempre 1.
  c) é sempre 2.
  d) só pode ser 1 ou 2.
  e) pode ser qualquer inteiro. 
   
  Abraço a todos.
  Ronald.Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  

[obm-l] PA e primos

[Iuri]

Vi uma questão esses dias, e fiquei curioso.Em uma PA infinita, com termo inicial a1 natural e razão r natural e diferente de zero. Prove que esta PA não pode ser composta apenas por numeros primos.Consegui provar, mas fiquei um tempão pensando: em qual termo exatamente acontece a primeira ocorrencia de um numero nao primo, em função de r e a1? Isso é uma questao razoavel ou vai ter q desenvolver mta coisa pra chegar no resultado?
Iuri

Re: [obm-l] Questoes

[Iuri]

2 - Sabendo-se que a + b = 13 e a^2 + b^2 = 39, calcule o valor de a.(a+b)^2=13^2a^2 + b^2 + 2ab = 169 => 2ab = 130 => ab= 65Substituindo a equacao, inicial (a+b=13) em ab=65, temos: a(13-a)=65 => a^2 -13a + 65=0
Como o discriminante é negativo, 'a' e 'b' serão complexos. Raizes: (13+sqrt(91)*i)/2 e (13-sqrt(91)*i)/23 - Sendo a + 1/a = 3/5, determine a^3 + 1/a^3.(a+1/a)^3 = a^3 + 1/a^3 + 3(a + 1/a) = (3/5)^3
a^3 + 1/a^3 = 27/125 - 3*3/5 = (9/5)(3/25 -1)=22*9/125= 198/125On 3/28/06, Eduardo Wilner <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:  Agora ela fica interessante.
       (x+1/x)^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x+1/x)    =>  x^3 + 1/x^3 = 3 sqrt3 - 3sqrt3 = 0.         As outras questões não têm correções?   estudante silva <
[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  Olá Ronaldo,Desculpe-me mas digitei errado essa questão, ela é na verdade (x+1/x)^2=3, vc saberia como fazer dessa forma?
Muito obrigado assim mesmo pela solução.[]'s  On 3/27/06, Ronaldo Luiz Alonso <
[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
 (1+1/x)^2 = 1 + 1/x + 1/x^2 =3  multiplica por x^2 e fica  x^2 + x + 1 = 3  
x^2 + x -2 =0  delta = 1 + 8 = 9  x = -1 +3/2 = 1 logo  o valor x^3 + 1/x^3 e'  2.  
Deve ter um jeito mais f'acil.   
  - Original Message -   
From: estudante silva   
To: obm-l@mat.puc-rio.br   
Sent: Monday, March 27, 2006 10:52 AM  
Subject: [obm-l] Questoes  Alguém poderia me ajudar com as seguintes questões, estou tentando fazê-las mas nao estou conseguindo, sempre encontro deltas negativos...1 - Sendo (1 + 1/x)^2 = 3 determine o valor de x^3 + 1/x^3.
2 - Sabendo-!
se que a
 + b = 13 e a^2 + b^2 = 39, calcule o valor de a.3 - Sendo a + 1/a = 3/5, determine a^3 + 1/a^3.

		 
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Re: [obm-l] T. Numero II

[Iuri]

1/a + 1/b  + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1Se tudo eh impar, entao o mmc deles eh impar, logo o denominador eh impar. No numerador teremos 6 numeros impares somados, o que dá um numero par. Portanto teremos par/impar=1 q eh claramente absurdo.
On 3/18/06, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
  Prove que  a igualdade 1/a + 1/b  + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1 nao admite solucoes com todos os numeros sendo impares.

		 
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Re: [obm-l] Exercícios

[Iuri]

1) Teorema: Se a+b+c=0 => a³+b³+c³=3abc(a+b+c)²=a²+b²+c² +2(ab+ac+bc)=a²+b²+c²+2[a(b+c)+bc]=0Como b+c=-a temos: a²+b²+c²+2[bc-a²]=0 => a²+b²+c²=2(a²-bc) => b²+c²=a²-2bcElevando ambos os lados ao quadrado: b^4+c^4 +2(bc)^2=a^4+4(bc)^2-4(a^2)bc => a^4+b^4+c^4=2[a^4+ (bc)^2 - 2(a^2)bc] => a^4+b^4+c^4=2(a^2-bc)^2
(a^3+b^3+c^3)*(a²+b²+c²)=3abc * 2(a^2-bc)a^5+b^5+c^5 + a^3*b^2 + a^3*c^2 + b^3*c^2 + b^3*a^2 + c^3*a^2 + c^3*b^2= a^5+b^5+c^5 + a^2*b^2(a+b) + c^2(a+b)(a^2+b^2 -ab) + c^3(a^2 + b^2) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c -c^3(a^2+b^2 -ab) + c^3(a^2 + b^2) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c + c^3(a^2 + b^2 - a^2 - b^2 +ab)  => a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c + (c^3)*ab = 3abc * 2(a^2-bc) = 6abc(a^2-bc) => a^5+b^5+c^5 = abc(ab-c^2) +abc(6a^2-6bc)=abc(6a^2-6bc+ab-c^2)
Substituindo tudo na equacao inicial: [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 + c^5) = (3abc)^2 *2(a^2-bc) / [abc(6a^2-6bc+ab-c^2)] = 18(a^2-bc)/(5a^2-6bc+ab+a^2-c^2)=18(a^2-bc)/(5a^2-6bc+ab-(a-c)*b)=18(a^2-bc)/(5a^2-5bc)=18/5
Ficou um tanto complicado... A questao original eh um teste, entao bastaria substituir um a+b+c=0 qualquer, por exemplo (1,1,-2) que chegaria ao resultado.2) 48*2^(-x²+2x)=(2^4)*3*2^(-x²+2x)
O valor maximo de uma equacao ax²+bx+c=0 é -b/2a, entao o valor maximo de -x²+2x é -2/2*(-1)=1O maior numero de divisores ocorre quando o expoente for o maior possivel, portanto teremos para x=1: (2^4)*3*2^(-x²+2x)=(2^5)*(3^1)
O numero de divisores é 6*2=12On 3/6/06, Diego Alex <[EMAIL PROTECTED]
> wrote:Alguém ae pode me ajudar o mais rápido possível com as questões abaixo??
1)Sejam a,b e c números reais não nulos tais que a+b+c=0. Podemosafirmar que [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 +c^5)^2 é igual a quanto???2)  O número máximo de divisores positivos do número natural 48*2^(-x^2
+ 2x), com x pertencendo aos naturais é.Grato,DiegoP.S.: Sou novo na lista, qualquer problema de notação se puderem mecorrigir, agradeço tbm...=
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Re: [obm-l] ajuda

[Iuri]

a)  4*5*5*5 = 500b) 5*5*5*5 = 625, mas nao pode ser o , entao é 624On 3/3/06, Marcelo Salhab Brogliato <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:






Olá,
 
sou fraquim de combinatoria, mas imagino que seja 
isso:
 
b)
5 * 5 * 5 * 5 = 625
 
a)
4 * 5 * 5 * 5 = 500
 
abraços,
Salhab
 

  - Original Message - 
  
From: 
  Marcus Aurelio 
  To: 
obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 03, 2006 12:52 
  AM
  Subject: [obm-l] ajuda
  
  
  Quantos elementos do conjunto A = 
  {x pertence N | 1000 < x < }
  (Item a) só tem dígitos 
  pares
  (Item b) só tem dígitos 
  ímpares

Re: [obm-l] Fatoracao

[Iuri]

Vi esse problema esses dias, e eh a+b+c=0 e a2+b2+c2 = 1
 
Ai a resposta dah 1/2 eu acho. 
On 2/23/06, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Naquele problema da fatoracao que gerou tantas mensagens, afinal qual era oenunciado correto?O problema foi originalmente enunciado pedindo para determinar a^4 + b^4 +
c^4 sabendo-se que a + b + c = 1 e a^2 + b^2 + c^2 =0. Se a, b e c foremreais, nao ha solucao. Se a, b e c forem complexos, entao o problema tem umainfinidades de solucoes, mas  a^4 + b^4 + c^4 nao eh constante, depende da
solucao.Artur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] 4 é igual a 6?

[Iuri]

(4 - 5)^2  = (6 - 5)^2Tirando a raiz dos dois lados, temos |4-5| = |6-5|, onde |x| eh modulo.|4-5|=1|6-5|=1A igualdade é verdadeira.
On 2/12/06, Alamir Rodrigues <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Onde está o erro da demonstração de que 4 é igual a 6?

 
Começamos com a seguinte igualdade:
 
-24 = -24
 
Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes:
 
16 - 40 = 36 - 60
 
Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma:
 
4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5
 
Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar:
 
4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5
 
Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo)

    
(4 - 5)2  = (6 - 5)2
 
Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos:
 
4 - 5 = 6 - 5
 
Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 
 
4 = 6

Re: [obm-l] teoria dos números

[Iuri]

Tem certeza q eh isso?O segundo termo entre colchetes eh  25/2-(625/4)^(1/2)-n = 25/2 - 25/2 -n = -n ... isso nao me parece olimpiada..On 2/7/06, 
vinicius aleixo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
(Eslovênia-2000)  Determine todos os inteiros n para os quais o valor da expressão abaixo é inteira.  [25/2+(25/2-n)^(1/2)]^1/2 + [25/2-(625/4)^(1/2)-n]     abraços  
   Vinícius Meireles Aleixo
		 
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Re: [obm-l] Números Inteiros

[Iuri]

Olha.. nao sei exatamente como vc quer essas demonstracoes, mas sao quase teoricas.Se um numero natural N é par, ele pode ser escrito na forma N=2x, entao N^2 = 4x^2, e para ser par precisa apenas ter um fator 2.
Se N é impar, entao ele nao possui nenhum fator 2, logo o N^2 tambem nao terá fatores 2.Deve haver alguma demonstracao mais formal, mas nao me vem a cabeca no momento...
Em 02/02/06, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
a) Prove que o quadrado de um inteiro par é par;b) Prove que o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar.

Re: [obm-l] duvida

[Iuri]

(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = (11c)^2(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = (11a + 11b)(9a - 9b) = 99(a+b)(a-b)=99(a^2 - b^2) = 11*11*c^2(a+b)(a-b) = (11/9)*c^2Como a e b sao inteiros, c^2 deve ser multiplo de 9. Entao c pode ser 3, 6 ou 9.
Se c=3 > (a+b)(a-b)=11 > a+b = 11 e a-b=1 > 2a = 12 ... a = 6 e b=5Se c=6 ou c=9 > a e b nao serao unicosEntao, a=6, b=5, c=3 > a+b+c = 14
Em 01/02/06, Marcus <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:













Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de
numeração decimal existe um único numero de dois algarismos (ab) tal que (ab)^2
– (ba)^2 = (cc)^2. calcule a+b+c?

 

Re: [obm-l] Cubo Perfeito

[Iuri]

x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 432 = 2^4 * 3^3Isso ai vai dá 5*4=20 sistemas.. Basta resolvê-los. Mas deve haver maneira pra eliminar parte dessas solucoes... daqui a pouco alguem dá uma luz..
Em 31/01/06, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Ache todas as solucoes inteiras de y^2=x^2-432.
		 
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Re: [obm-l] complexos

[Iuri]

Aproveitando a questao:1) Um polinomio de grau N possui N raizes complexas (nao eh o caso) (?) [Temos +-i e 0]2) w^2 + |w| = 0 é [tambem] uma equacao modular?3) Para a soma das raizes ser zero, o termo de grau 1 deveria ser zero. Nas respostas dadas estao considerando |w| como termo independente? Isso claramente eh falso. Ou não?
O que eu tentei passar anteriormente eh q no caso citado, a soma das raizes é zero, mas nao por ser uma propriedade dos polinomios.Em 24/01/06, 
Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:







Ah 
corrigindo, i tambem eh soucao da equacao dada, de modo que a soma eh mesmo 
nula.
Artur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Artur Costa 
  SteinerEnviada em: terça-feira, 24 de janeiro de 2006 
  16:14Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: [obm-l] 
  complexos
  

Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com 
números complexos?? 
Todas as propriedades dos polinomios que dependam apenas 
das leis algebricas vigentes no corpo dos reais sao validas no corpo dos 
complexos, pois os complexos formam um corpo com relacao aas operacoes 
de adicao e de multiplicacao. Por exemplo, as relações de Girard sao 
validas para polinomios definidos no corpo dos 
complexos.
 
por exemplo, na equação w^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma 
das raizes é igual a 0? 

Se 
w = a+ b*i, a e b reais, entao a equacao   w^2 + |w| = 0 
equivale a  a^2 - b^2  +|w| + 2*a*b*i =0. Como |w| = 
+raiz(a^2 + b^2) eh real, temos que 2*a*b = 0 => a=0 ou b=0. Se b =0, w 
eh real e a unica solucao eh w = 0. Se a = 0, entao w = b*i e   
-b^2 +|b| = 0. Se b>=0, temos -b^2 +b = 0 => b =0. Se b<0, 
entao  -b^2 - b = 0  => b= -1. Assim , as solucoes da 
equacao sao w = 0 e w=-i. A soma da raizes eh 
-i. 
 
Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes 
n-ésima da unidade.
1/Z1 é uma das raízes da unidade?
Sim, pois 
pelas leis algebricas do corpo dos complexos, (1/z1)^n = 1/(z1^n) =1/1 
=1., 
 
Artur