Re: [obm-l] Problema para Artur
Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) quediz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T)também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: OBM lISTA Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema para Artur
Bem, podemos humilhar falando que (algebrico)^(algebrico nao-racional) e transcedente -- Mensagem original -- Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2. - Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema para Artur
Oi gente, Que tal considerar a função f:R+ - R+, f(x) = x^x? Esta função é contínua, logo existe um valor de x tal que x^x = 2004, por exemplo. Não é difícil ver que esse x é irracional. x não pode ser algébrico pois x^x seria transcendente. Logo x é transcendente e x^x = 2004 é algébrico. []'s Shine --- Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T) também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: OBM lISTA Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance: Get your refund fast by filing online. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema para Artur
Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans oualgebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) quediz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T)também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: OBM lISTA Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Problema para Artur
Title: Re: [obm-l] Problema para Artur Bem, o Shine jah deu um exemplo (de fato, uma familia infinita de exemplos) de numeros transcendentes x tais que x^x eh algebrico. Me parece claro que ha apenas uma infinidade enumeravel de tais x. on 12.02.04 19:54, Bruno Lima at [EMAIL PROTECTED] wrote: Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de 2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans ou algebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T) também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima mailto:[EMAIL PROTECTED] To: OBM lISTA mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2. Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
RE: [obm-l] Problema para Artur
Bom, outros jah resolveram o problema proposto para mim... Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
