Re: [obm-l] Produto de comutadores
On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores
NÃO É necessariamnete um comutador?
Outro exemplo é SL(2,R). Afirmo que -I não é um comutador.
Vou escrever A' em vez de A^{-1}.
Suponha ABA'B' = -I. Seja v um autovetor de B associado ao
autovalor l (real ou complexo). Então
ABA'B'v = (1/l) ABA'v = -v
donde
B(A'v) = -l (A'v)
e -l também é autovalor.
Como estamos supondo det B = 1 isto significa que os autovalores são +-i.
Uma conta parecida mostra que a mesma coisa vale para A.
Assim A' = -A e B' = -B e ABA'B' = ABAB = (AB)^2 = -I
e a matriz AB também tem autovalores +-i.
Podemos conjugar tudo por X e supor que
(0 -1)
A = ( )
(1 0)
Uma matrix 2x2 de det 1 tem estes autovals se e somente se seu traço é 0,
assim
(a b)
B = ()
(c -a)
com a^2 + bc = -1. Mas
(-c a)
AB = ( )
( a b)
e tr(AB) = 0 implica b = c. Assim a^2 + b^2 = -1, absurdo.
Por outro lado, tomando a = 2, c = sqrt(17)/3, s = sqrt(8)/3,
(a0)
A = ( )
(0 1/a)
e
(c s)
B = ( )
(s c)
temos (ABA'B')^2 = -I.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Produto de comutadores
Title: Help Oi, pessoal: Algum poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores NO necessariamnete um comutador? (dados dois elementos x, y de um grupo, o comutador de x e y , por definio, igual a x*y*x^(-1)*y^(-1) ) Um abrao, Claudio.
Re: [obm-l] Produto de comutadores
On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: HelpOi, pessoal: Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores NÃO É necessariamnete um comutador? Um exemplo para o qual esta pergunta é útil: o recobrimento universal de SL(2,R). Todo elemento é um produto de um número suficientemente grande de comutadores mas nem todo elemento é um comutador. Um elemento deste grupo pode ser descrito por um caminho g: [0,1] - SL(2,R) com g(0) = I, onde identificamos dois caminhos quando eles têm o mesmo ponto final e são homotópicos fixando estes pontos. Tome ( cos(4 pi t) -sen(4 pi t) ) g(t) = ( ). ( sen(4 pi t) cos(4 pi t) ) O elemento g não é um produto de dois comutadores. Este fato é usado para provar que um bitoro não admite estrutura afim. Veja http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/workshop.ps.gz Eu sei que existe um grupo finito relativamente pequeno para o qual também vale o que você falou. Tente A5: todo elemento é um produto de comutadores mas eu *acho* que nem todo elemento é um comutador. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
