[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Nicolau, Embora tenha eu aprendido o método de Tartaglia de outra forma, devo elogiá-lo pela didática ao explicar. Não querendo resgatar a discussão anterior sobre o ensino da Matemática para o Ensino Médio, faço um comentário breve após ler a sua aula: infelizmente, quando um professor atinge certa proficiência na arte de ensinar, tornando-se claro até para um leigo, ele adquire outros objetivos -- avançar nos estudos, dar aulas para o Ensino Superior, examinar temas de Olimpíadas, fazer pesquisas etc. --, o que é muitíssimo louvável evidentemente, mas não deixa de ser também uma perda para aqueles que não terão um professor tão hábil logo de início, e muitos (ou a maioria) adquirem o misterioso desinteresse. Veja, não é minha intenção criticar isto ou aquilo, e sim observar que muitas falhas não pertencem aos alunos somente, mas ao que há de mais natural tanto para o aluno quanto para o professor: o amadurecimento ao aprender e ao ensinar (simultâneo para ambos). A confiança que um professor demonstre por aquilo que ensina certamente é capaz de cativar a curiosidade dos alunos, os quais encontrariam motivação de estudo na Matemática. O trabalho de longos anos do Prof. Luiz Barco (USP) é um exemplo a ser considerado: o interesse por mostrar que qualquer assunto dentro da Matemática, seja ele de nível elevadíssimo ou não, pode ser explicado e entendido por qualquer pessoa desde que a *linguagem* seja trabalhada nesse sentido. E eis o maior crime a que muitos matemáticos não se furtam: abusar da linguagem em detrimento da clareza. Sinceramente, Rafael de A.Sampaio - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 12:25 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Cláudio,
Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares. Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em casos particulares, e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu desafio, vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x = x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.
De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R - R, certo? E se considerássemos f: C - C? Se
não estou errado, teríamos um gráfico de 4 dimensões e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C? No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C - C tenha mais
do que uma função inversa?
Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais 4
dimensões já me pareça um tanto difícil...
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 12, 2004 9:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Funções inversas
Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser
expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto
existem
e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima
(imagino
que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos
reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com
algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R - R dada
por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao
para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
on 14.02.04 01:46, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Cláudio,
Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares.
Nao conheco, mas sei que existe um algoritmo que testa se a integral
indefinida de alguma funcao pode ser expressa como combinacao de funcoes
elementares. Jah houve inclusive mensagens a respeito na lista.
Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em casos particulares, e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu desafio, vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Um argumento que apela pra construcao grafica nao eh muito rigoroso. Talvez
seja mais facil observar que f eh ilimitada e a derivada f'(x) = 3x^2 + 3 eh
sempre positiva. Ou entao, voce pode provar no braco que para todo y em R,
existe x em R tal que x^3 + 3x = y (que foi o que voce fez mais abixo) e que
x^3 + 3x = y^3 + 3y (x e y reais) implica y = x (uma fatoracao facil).
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x = x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.
A ideia eh essa mesmo.
De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R - R, certo? E se considerássemos f: C - C?
Tambem seria. A inversa de uma funcao, se existir, eh unica.
Soh que f: C - C dada por f(x) = x^3 + 3x nao eh injetora. Por exemplo,
f(0) = f(i*raiz(3)) = f(-i*raiz(3)) = 0. Logo, f nao possui inversa.
Se não estou errado, teríamos um gráfico de 4 dimensões e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C?
O conceito de bijecao vale pra qualquer conjunto (mesmo nao numerico), assim
como sempre vale o fato de que f tem uma inversa se e somente se f eh uma
bijecao.
No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C - C tenha mais
do que uma função inversa?
Nao. Veja acima.
Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais 4
dimensões já me pareça um tanto difícil...
A dificuldade de visualizacao nao tem nada a ver com a existencia de
inversas. Eh mais uma limitacao da mente humana. No mais, voce nao precisa
de graficos. Voce pode sempre trabalhar algebricamente (e, portanto, tratar
o R^4 ou o C^2 como um conjunto de quadruplas ordenadas de numeros reais).
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
