Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
Isto e mais ou menos facil:encontre os polinomios minimais em Q de cada um desses caras.Exemplo: se x=2^(1/2), entao x^2-2=0, um polinomio irredutivel em Z.E fim: a raiz quadrada de dois nao e racional mas e real, logo e irracional. --- Frederico Reis Marques de Brito <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Aproveito a oportunidade para acrescentar: > (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus > ) e cos (20 graus ) são > irracionais. > (b) Podemos generalizar este fato de alguma > forma? > > Abraços a todos. > ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane > geral nesses últimos dias e > creio não ter recebido a tal correção da > enquete, proposta pelo mOrgado, > você chegou a enviá-la? ) > > Frederico. > > > >From: Claudio Buffara > <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: [obm-l] Logaritmo Irracional > >Date: Sat, 06 Sep 2003 08:54:23 -0300 > > > >Oi, pessoal: > > > >Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 > mensagens aqui na lista sobre a > >irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), > etc. mas nunca sobre a > >irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui > vai um problema: > > > >Prove que se N eh um inteiro positivo que nao > eh uma potencia de 10, entao > >log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. > > > >Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que > o caso de raiz(2) e usa > >apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos > numeros inteiros. > > > > > >Um abraco, > >Claudio. > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >= > > _ > MSN Messenger: converse com os seus amigos > online. > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
Se log n =p/q, entao n=10^(p/q),ou n^q=2^p*5^p. Pelo TFA n deve ter os fatores 2 e 5 apenas. n=2^a*5^b, acarreta p=aq=bq. E fim(acho).Essa foi do Tengan ha um tempo atras. Mais chato e o teorema de Schneider-Gelfond.Alias onde eu acho isto?Na Internet de preferencia... --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi, pessoal: > > Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 > mensagens aqui na lista sobre a > irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), > etc. mas nunca sobre a > irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui > vai um problema: > > Prove que se N eh um inteiro positivo que nao > eh uma potencia de 10, entao > log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. > > Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que > o caso de raiz(2) e usa > apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos > numeros inteiros. > > > Um abraco, > Claudio. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
On Sat, Sep 06, 2003 at 12:31:17PM -0300, Domingos Jr. wrote: > a lista também aparece na web: www.obm.org.br Uma pequena correção: www.obm.org.br é a home page oficial da OBM. Lá tem instruções de inscrição na lista e pointers para os arquivos. Mas os arquivos propriamente ditos não estão lá, estão em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED] http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Logaritmo Irracional
Suponhamos que log(N) seja racional. Como log(N)>=0, pois N>=1, temos que log(N)= m/n, onde m>=0 e n>0 sao inteiros. Segue-se que N=10^(m/n) e que N^n =2^m*5^m. Logo, 2 e 5 sao os unicos primos que comparecem na fatoracao de N, do que deduzimos que N=2^k1*5^k2, sendo k1 e k2 inteiros nao negativos. Temos entao que N^n = 2^(nk1)*5^(nk2) = 2^m*5^m, o que implica que nk1=m, nk2=m => k1 = k2 = m/n = k = inteiro. Logo, N=2^k . 5^k =10^k => N eh potencia de 10. Tomando-se a contrapositiva desta conclusao,segue-se que se N nao for potencia de 10 entao log(N) eh irracional. Interessante que isto nao pode ser generalizado para inteira >1. 4 nao eh potencia de 16, mas log(4) (base 16) =1/2, racional. Pode, entretanto, ser generalizado se N for da forma N= (p1*..pk)^q, onde q eh inteiro positivo e p1,...pk sao primos. Um abraco Artur > Oi, pessoal: > > Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre a > irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a > irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema: > > Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10, entao > log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. > > Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa > apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros. > > > Um abraco, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
> Aproveito a oportunidade para acrescentar: > (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus ) e cos (20 graus ) são > irracionais. > (b) Podemos generalizar este fato de alguma forma? > > Abraços a todos. > ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e > creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado, > você chegou a enviá-la? ) a lista também aparece na web: www.obm.org.br se você perder uma mensagem ela provavelmente vai ser encontrada na web. uma das possíveis maneiras de provar isso é: cos(nx) = constante onde x é o grau que você acredita ter a propriedade que cos x é irracional e nx é algum ilustre conhecido, por exemplo: cos(3*20) = cos60º = 1/2 chame x = 20 cos(3x) = 1/2 cos(x + 2x) = cosx*cos2x - senx*sen2x = cosx*[cos²x - sen²x] - senx[2senx cosx] agora expresse tudo em função de cosx (use o fato sen²x = 1 - cos²x). a partir daí tome y = cosx e temos uma equação envolvendo um polinômio, o grau desse polinômio é 3, se ele for irredutível (não continuei a conta para ver qual polinômio vai dar, mas não custa nada tentar usar o critério de Eisenstein e alguns outros) então o polinômio não tem raízes racionais, mas como cos(20) é raiz então cos(20) não pode ser racional. se o polinômio tivesse grau > 3 a coisa ficaria um pouco mais chata, isso porque ele poderia ser redutível e não possuir raízes racionais, mas se você mostrar que um polinômio qualquer de grau > 1 é irredutível (no corpo Q dos racionais) então ele não pode ter uma raiz racional, pois se tivesse r em Q raiz, então (y - r) dividiria o polinômio em Q[Y] e este não seria irredutível. --- vamos ver o problema do Cláudio, temos N inteiro, N != 10^k para todo k logN = r, suponha r em Q, r = a/b, b != 0 com mdc(a, b) = 1 10^(a/b) = [10^a]^(1/b) = N, inteiro então N^b = 10^a... se N != 10^k, então N = 2^u * 5^v * M, onde M não é divisível por 2 ou por 5 se M > 1, temos que existe um primo diferente de 2 e 5 na composição de N, logo N^b != 10^a se M = 1, então N^b = (2^u * 5^v)^b = 2^(ub)*5^(uv) = 10^a então ub = a = vb, mas então u = v => N = 2^u*5^u = 10^u provamos então que r não pode ser racional. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
Aproveito a oportunidade para acrescentar: (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus ) e cos (20 graus ) são irracionais. (b) Podemos generalizar este fato de alguma forma? Abraços a todos. ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado, você chegou a enviá-la? ) Frederico. From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Logaritmo Irracional Date: Sat, 06 Sep 2003 08:54:23 -0300 Oi, pessoal: Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre a irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema: Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10, entao log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
