Olás,
Vendo essa última discussão sobre "injetividade e sobrejetividade"
mais gerais do Arthur, lembrei de ter visto algo assim no livro do
Enderton de Teoria dos Conjuntos:
Def. Um conjunto a é single-rooted (de raiz única, digamos) se para
todo y na imagem de a existe um único x no dominínio de a de modo que
(x,y) pertence a a.
(Aqui o x não precisa ser relação, dom(x) e im(x) são vazios se x não
possuir pares ordenados; e também podemos definir o x^-1 para um
conjunto qualquer, invertendo os pares ordenados que eventualmente
pertençam a x. De modo que
(x^-1)^-1 é a maior relação contida em x, digamos)
Aí temos alguns resultados bonitinhos:
- r^-1 é função se, e somente se, r é unirradicular
- para o caso de funções, ser unirradicular é equivalente a ser injetora
- como corolário das duas anteriores, as únicas funções para as quais
a relacao inversa é uma funcao sao as injetoras.
(Notar que para esse tratamento meio que nao faz sentido pensar em
"funcao de A em B ser sobrejetora ou nao", como conjunto de pares
ordenados toda funcao é uma sobrejecao na imagem, aí o importante fica
ver se é injetora ou nao)
... Eu só vi isso nesse livro do Enderton, "Elements of Set Theory".
Uso nos cursos que dou na graduação para forçar o aluno a pensar em
domínio e imagem mesmo nos casos em que o conjunto nao é relacao. Não
conheço tratamento disso em outros lugares.
Atés,
[]s Samuel
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