Ou seja: como a incompletude, esses outros resultados estranhos têm
consequências fora da lógica.
2016-06-16 8:23 GMT-03:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L <
logica-l@dimap.ufrn.br>:
> Oi Hermógenes,
>
> --> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer que um
> modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
> dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é verificada
> em M.
>
> Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em primeira
> ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma
> estrutura enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são
> válidas, quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x =
> para todo x em M, e assim por diante).
>
> O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
> enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do
> Paradoxo de Skolem...
>
> Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
> não-enumerável. Pois todas as funções que
> sobrejetam os naturais em M estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei
> que ele é enumerável, mas "lá dentro" as tais
> funções que o enumeram não estão, essas funções não pertencem a M. "Na
> opinião dele", ele é enumerável - pois a sentença "Não existe bijeção entre
> a estrutura
> e os naturais" é verificada, é válida lá.
>
> (É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a mesa
> não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
> o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
>
> --> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude para
> ZFC, então não tenho certeza
> se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
> aproveitar a oportunidade para
> dar respostas rápidas para ambas...
>
> "Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
> completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
> completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
>
> ZFC = ZFC de primeira ordem aí no nosso contexto, portanto, por ser uma
> teoria de primeira ordem, vale o Teorema de Completude para
> ZFC - o que dá a completude semântica de ZFC. Notar que
>
> "Se é consistente, tem modelo" é um enunciado equivalente a "Consequências
> semânticas são consequências sintáticas"
>
> (aqui estou falando como lógico; se eu estivesse falando como matemático,
> eu possivelmente diria que os dois teoremas acima
> são equivalentes, hehe, mas na verdade sabemos que são dois enunciados
> equivalentes para o mesmo teorema, digamos)
>
> As recíprocas são o Teorema da Correção (Soundness), cujos enunciados
> equivalentes são
>
> "Se tem modelo, é consistente" <=====> "Consequências sintáticas são
> consequências semânticas"
>
> (o que é mesmo o lado fácil: se phi é uma consequência sintática de T
> (i.e., se T prova phi), então a correção do sistema
> garante que phi vai ser válida em todos os modelos de T (i.e., phi é
> consequência semântica de T))
>
>
> ... Ou seja, o Teorema de Completude garante a completude semântica de ZFC
> com primeira ordem, enquanto que
> o Teorema de Incompletude mostrou a incompletude sintática de ZFC.
>
>
> --> "Como": Seja Con(ZFC) a declaração de que ZFC é consistente (que eu
> comentei na outra mensagem ser equivalente à
> Sentença de Gödel).
>
> Então, pelo primeiro ou pelo segundo teorema de incompletude, meio que
> tanto faz porque no fundo é a mesma
> coisa,
>
> ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência sintática de
> ZFC. ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas sigamos só disso")
>
> Por Completude, se não é consequência sintática então não é consistência
> semântica.
>
> Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de ZFC.
>
> Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse é um
> tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele,
> a asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
> consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
>
>
> ... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC onde
> Con(ZFC) é válido e também deverão
> existir modelos de ZFC onde Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos
> concordassem, existiria uma prova", essencialmente é isso
> que Completude diz). Aí podemos aplicar Soundness e chegar em
> Con(Con(ZFC)) e Con(não Con(ZFC)), ou seja,
> Con(ZFC) é independente de ZFC.
>
>
> ... Espero que ajude,
>
> Até,
>
> []s Samuel
>
>
>
>
> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>>
>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas:
>>
>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?
>>
>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>
>>
>> JM
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