Caros,
Decidi abrir outro post para não ter que escrever em algo onde conste o nome
de... Ops, quase ia escrevendo o nome dele ! 8-)
Dois pitacos sobre os últimos comentários sobre conjuntos:
--> Sim, é verdade que Dedekind definiu os conjuntos infinitos como exatamente
aqueles que têm bijeções com
partes próprias. Até mesmo no nosso querido Dicionário Aurélio consta essa
definição (se não me engano, está ali como
uma das várias subdefinições da palavra "conjunto"). Porém, eu sempre brinco
com meus alunos que "O Dicionário Aurélio
assume o Axioma da Escolha nessa parte !!"
Explico. Inicialmente, conforme a literatura atual, vamos chamar de D-infinitos
os conjuntos que possuem bijeções com partes
próprias (obviamente, D vem de Dedekind).
Em ZF (i.e., sem a necessidade do Axioma da Escolha), podemos provar que
Um conjunto é D-infinito se, e somente se, possui um subconjunto infinito
enumerável.
(para construir o subconjunto infinito enumerável de um D-infinito, encare a
bijeção com a parte própria como sendo uma
função injetora e não sobrejetora do conjunto nele mesmo. Tome um elemento que
não esteja na imagem e itere a função injetora nele. Pronto.)
*Porém*, para se provar que
Um conjunto é D-infinito se, e somente se, é infinito (:= não possui bijeção
com nenhum número natural)
Aí sim, precisamos do Axioma da Escolha, para provar a parte relativa ao "se"
(o "somente se" é a contrapositiva do Princípio
da Casa dos Pombos, o qual, no nosso contexto, fala que para conjuntos
*finitos* vale o princípio de Euclides de que
"uma parte tem que ser menor do que o todo"...).
(Para ver a ação do axioma da escolha, tome um conjunto infinito x e considere
uma função escolha h nas suas partes não-vazias - aí que
se usa o axioma da escolha. Por recursão, defina a_0 = h(x) e a_{n + 1} = h(x
menos {a_0,...,a_n}). Pronto.)
Agora, não é só porque sabemos onde e como usamos o Axioma da Escolha aí que eu
estou falando que o Axioma da Escolha é necessário:
é consistente com ZF que existam conjuntos infinitos que *não* possuem
subconjuntos infinitos enumeráveis !!! No modelo básico de
Cohen, no qual o Axioma da Escolha é falso, mostra-se que existe um subconjunto
denso na reta real que é D-finito.
(No modelo de Cohen, nem o Axioma da Escolha Enumerável é verdadeiro; na
verdade, o Axioma da Escolha Enumerável é suficiente para
mostrar que todo conjunto infinito é D-infinito...)
No livro do Jech, "Axiom of Choice", tem essas coisas bem exploradas, por
exemplo com esse conjunto infinito porém D-finito é relativamente
fácil construir pontos em fechos que não são limites de sequências, funções
sequencialmente contínuas que não são contínuas...
Então, a definição de Dedekind para infinito sim que é equivalente à usual -
mas na presença do Axioma da Escolha !
---> Sobre classes: sim, classes são totalidades, OK. concordo com Daniel. E
mais ou menos penso como Cantor (os conjuntos são as "classes
não-contraditórias", as tais totalidades consistentes - normalmente os
paradoxos, como o de Russel, nascem de se supor que uma certa totalidade é um
conjunto e a partir daí deduzir uma contradição).
É possível formalizar a afirmação do JM ("algo que seja grande demais para ser
um conjunto é uma classe"). Na teoria de classes NBG, conjunto é definido
como sendo uma classe que possa pertencer a uma outra classe (ou seja, é
"pequeno o suficiente" para caber em outra). Em ZFC, é fácil ver que
as classes são exatamente as coleções que são *ilimitadas* no universo dado
pela hierarquia cumulativa; de fato, se uma determinada classe "cabe" como
subclasse
de um nível V_alpha, basta aplicar o Axioma da Separação nesse V_alpha e voilá,
a classe se torna conjunto.
... Atés,
[]s Samuel
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