Olá a tod@s,
Espero que estejam bem.
Há alguns dias eu e o Abílio estamos às voltas sobre como classificar uma
determinada interpretação dos quantificadores de primeira ordem entre
objetual ou substitucional. Talvez, alguns dos membros da lista possam
nos ajudar a esclarecer a questão.
Alguns livros-texto interpretam os quantificadores em termos das instâncias
de substituição da fórmula quantificada, o que exige que para cada elemento
no domínio da estrutura exista ao menos uma constante na linguagem que o
denote (e.g., Shoenfield). Em outros livros (e.g., Mendelson, Enderton),
os autores optam pela interpretação original formulada por Tarski,
seja através de sequências ou atribuições ("assignments").
A segunda interpretação é objetual, ao passo que a primeira é substitucional.
Há, porém, uma terceira interpretação que talvez seja menos conhecida.
Trata-se daquela encontrada nos livros do Mates e do Bostock ("Intermediate
Logic"). A ideia é selecionar uma determinada constante 'c' que não ocorre na
sentença quantificada, substituir a variável quantificada por 'c', e avaliar a
sentença resultante em todas estruturas que diferem da estrutura original no
máximo quanto à interpretação de 'c'. Essas estruturas são chamadas
"c-variantes".
Assim, \forall xPx é verdadeira na estrutura original sse Pc é verdadeira em
todas
as estruturas c-variantes.
A nossa questão é como exatamente classificar os quantificadores quando
interpretados dessa forma: eles são objetuais ou substitucionais? Por um lado,
o fato de definirmos verdade em uma estrutura sem antes definir satisfação
parece
apontar para a segunda opção, ao passo que o fato de a interpretação não
envolver
todas as instâncias de substituição (mas apenas uma) leva a crer que trata-se
de
uma interpretação objetual. Estamos inclinados a acreditar que a segunda
análise é
a mais correta, mas sem certeza absoluta. Talvez a distinção nem se aplique
nesse
caso.
Comentários e esclarecimentos sobre a questão seriam muito bem-vindos.
Abraços e obrigado
--
Henrique Antunes
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