[NTG-context] I can't put footnote

Wed, 22 Jul 2009 10:31:30 -0700 

Hi,

Anyone could help me please. I attach a document with I have problems.
When I comment out the footnote in line 402, then I get an error.

Can anyone could see what happens?

Thanks in advance,
Xan.

% interface=en output=pdftex
%\environment capcalera.context % Capçalera

% Regime
\enableregime[utf]

% Choose a font
\setupbodyfont [cmr,11pt] % cmr, 11pt

% Be tolerant with paragraph building
\setuptolerance [horizontal,verytolerant,stretch]

% Choose a language, and associated hyphenation rules.
%\language [ca]
\mainlanguage[ca]


% Page number
\setuppagenumbering [location={footer}]

% White space between paragraphs
%\setupwhitespace [big]

% Paper size
\setuppapersize [a4]

% Margins
%\setuplayout  [grid=yes, footer=0.5\footerheight, header=0.5\headerheight]
%\setuplayout[footer=2cm, header=2cm]
%\showlayout
%\showframe
%\showsetups
% Format de marges
%\setuplayout[topspace=1.5cm, % marge d'adalt
%margin=1.5cm, %marges dels costats
%header=1.0cm,%separació entre adalt i primera línia
%footer=1.0cm,%separació entre abaix i darrera línia
%width=fit,height=fit,backspace=2cm]



% Enable colors and activate hyperlinks
\setupcolors [state=start]
\definecolor[lightblue][r=0.5, g=0.5, b=1.0]
%\setupinteraction [state=start, color=lightBlue]
%\setupurl[style=small, space=yes]
\setupurl[space=yes]

% Enumerate the URLs
%\useURL[wiki][http://wiki.contextgarden.net][][\ConTeXt\ wiki]
%\useURL[nagorko-pdf][http://www.math.bgu.ac.il/~barakw/probseminar/nagorko/slides.pdf][][http://www.math.bgu.ac.il/\~{}barakw/\quad\quad\quad\quad
 probseminar/nagorko/slides.pdf]
%\useURL[govern-me][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html][][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html]
%\useURL[context-manual-pdf][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/cont-eni.pdf][][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/
 cont-eni.pdf]
%\useURL [contextgarden] [{http://www.contextgarden.net}]

%\useURL 
[mccammond][{http://www.math.ucsb.edu/~jon.mccammond/geogrouptheory/}][] [{\tf 
http://www.math.ucsb.edu/\~{}jon.mccammond/geogrouptheory/}]


% Fonts
%% Chapters...
\setupheads[align=flushleft]
\setuphead[chapter][style={\tfd\bf}]
\setuphead[section][style={\bfc}, header=nomarking]
\setuphead[subsection][style={\bfb}]
\setuphead[subsubsection][style={\bfa}]
%\setuphead[section][textstyle=bold]

% Bibliography options
% BIBTEX
\usemodule[bib]
\usemodule[bibltx]
\setupbibtex[database=memoria,sort=author]
\setuppublications [alternative=ams,numbering=yes, sorttype=bbl, 
criterium=cite]%
\setupheadtext[ca][pubs=Referències]
\setuppublicationlist[authoretallimit=3]
\setuppublicationlist[authoretaltext={\it\  et al.}]
\setuppublicationlist[authoretaldisplay=1]

%Indentation
\setupheads[indentnext=yes] 
\setupindenting[yes,small,first]
%\setupformulae[indentnext=yes]

% Vertical spaces between paragraphs
\setupwhitespace[small]

%Itemize
\setupitemize[each][indentnext=no,margin=2em] % [identnext=yes,margin=2em]
\setupitemize[each][headstyle=bold]
%\setupitemize[a][right=),stopper=]

% Mathematical packets
\usemodule[newmat]
\usemodule[math-ams]

% Heads and footers
%\setupfootertexts[][{\tfx \currentdate}]
%\setupfootertexts[\pagenumber/\lastpage]
%\setupfooter[text][before=\hrule]
%\setupheader[text][after=\hrule]
%\setupheadertexts[{\tfx Màster de Matemàtiques}][{\tfx 
\jobname.\ConTeXt{}.\currentdate}]
%\setupheadertexts[][{\tfx \currentdate}]


% hyphenating
\hyphenation{do-cu-ment}
\hyphenation{pro-ble-ma}
\hyphenation{es-crip-tu-ra}
\hyphenation{ge-ne-ra-lit-za-ció}
\hyphenation{cor-res-po-nents}
\hyphenation{pa-rells}
\hyphenation{ge-ne-rat}

% Modules
\usemodule[tikz]
\usemodule[pgfmath]
\usetikzlibrary[mindmap,arrows,calc,decorations.pathmorphing,decorations.markings]
%\usetikzlibrary[trees]



% AMSTHM equivalent
%% Exercici
\defineenumeration
  [exercici]
  
[text={Problema},headstyle=bold,between=\blank,titledistance=0em,textdistance=1em,
stopper={.\space},location=serried,left={\bgroup\bf},right={\egroup},width=fit,before={\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=off,width=broad]},after={\stopframedtext\egroup}]

%% Lema 
\defineenumeration
  [lema]
  [text={Lema}, % Què es mostra
   before={\blank[big]}, % abans de lema, un bigskip
   after={\blank[big]}, % després de lema, un bigskip
   headstyle=bold, % Negreta per la capçaleras
   %between=\blank, % Entre Lemmes una línia en blanc
   titledistance=.5em, % espai entre número i parèntesis.
   textdistance=.5em, % espai entre ) i text
   stopper={.\space}, % Com acaba. Després de parèntesis un '.'
   location=serried,
   width=fit, % que ocupi tot l'espai
   style=italic, % estil del text
   title=yes, % si puc posar o no arguments opcionals
   titlestyle=bf, % estil del títol
   way=bytext, % enumerar en tot el document
   conversion=numbers,indenting=yes] % enumera amb arabic

%% Proposició, corol·laris, teoremes.
%% Comparteix els nombres amb lema
%% Si volem que vagin a part, hem de posar 'number=proposition'
\defineenumeration
  [proposition]
  [lema]
  [text={Proposició}]

\defineenumeration
  [corollary]
  [lema]
  [text={Corol·lari}]

\defineenumeration
  [theorem]
  [lema]
  [text={Teorema}]


%% Definició
\defineenumeration
  [definition]
  [lema]
  [text={Definició},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

\defineenumeration
  [notation]
  [definition]
  [text={Notació},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

\defineenumeration
  [note]
  [definition]
  [text={Nota},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

%% Demostració

\defineenumeration[demo][text={Demostració.\space},number=no,location=serried,width=fit,headstyle=italic,indentnext=yes,between=\blank,textdistance=.5em,closesymbol={\mathematics{\Box}},style=normal,indenting=yes]

% Table of contents
%% dots between... and subsubsubsection are not listed
\setupcombinedlist[content][level=4,alternative=c] 
%% section = bold. % width= 10mm --> less space between num-letter
%% line break after section.
\setuplist[section][style=bold,width=10mm] 
\setuplist[section][before=\blank]
%% margin = 10 mm. Put the subsection just bottom section.
\setuplist[subsection][margin=10mm,width=10mm]
\setuplist[subsubsection][margin=20mm,width=10mm]

%\setuplist[subsection] %[distance=1em] % section = bold. % 
% Això ho trec d'un manual:
%\setuplist[subsection]
%          [margin=1em,
%          numbercommand=\NumCom]
%\def\NumCom#1{\hbox to 2em{\hfill #1}}

% Set "Índex" like "Índex de continguts"
\setupheadtext [ca] [content=Índex]


% Definitions/abbreviations
\define[1]\dist{d(\sigma_g(#1), \sigma_h(#1))}
\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}
%\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=color,backgroundcolor=lightblue,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}


% SPLIT
\def\startsplit
  {\startalign} % no number by default
\def\stopsplit
  {&\doalignNR[+][]\crcr % for a number on last line
   \stopalign}

% Other
\setupunderbar[alternative=b] % Fix underline style
% For putting underline with spaces: \underbar{\dorecurse{40}~}

% Define new register for the Index of Symbols
\defineregister[symbol][symbols]


% Start the text
\starttext
\version[concept]

\subsubsubject{Paraules sobre un alfabet}

En aquest apartat farem memòria de la definició de paraula (sobre un alfabet) 
i introduirem certes notacions i operacions estàndards que farem servir 
posteriorment.

Recordem que un {\em alfabet}\index{alfabet} és un conjunt qualsevol de 
símbols, els quals anomenarem {\em lletres}\index{lletres}. Si $A$ és un 
alfabet, aleshores una {\em paraula $w$ sobre $A$}\index{paraula} és una 
successió finita de lletres de $A$, que escriurem com $w = w_1 \ldots w_k$. 
Indicarem amb $\varepsilon$ la paraula que no té cap lletra, la qual 
anomenarem {\em paraula buida}\index{paraula+buida}. Quan $w$ consti de dues o 
més lletres iguals consecutives, per comoditat, podrem agrupar-les usant la 
notació multiplicativa. Per exemple si $A = \{a,b\}$, aleshores $ab^3a^2b$ 
denotarà la paraula $abbbaab$. 

La {\em concatenació}\index{concatenació de paraules} de dues paraules $w_1$, 
$w_2$ sobre $A$, que indicarem amb $w_1 \cdot w_2$, és la juxtaposició de 
$w_1$ i $w_2$, és a dir, si $w_1 = a_1 \ldots a_k$ i $w_2 = b_1 \ldots b_s$, 
aleshores
\startformula
w_1 \cdot w_2 = a_1 \ldots a_k b_1 \ldots b_s,
\stopformula
amb la convenció que $w_1 \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot w_1 = w_1$. 
Sovint ometrem el símbol $\cdot$ i escriurem $u v$ per denotar $u \cdot v$.

Si $w$ és una paraula sobre $A$, aleshores $l(w)$\symbol{$l(w)$} denotarà la 
seva {\em longitud}\index{longitud+d'una paraula}, és a dir, el seu nombre de 
símbols. De forma clara, $l(u \cdot v) = l(u) + l(v)$, per a qualssevol 
paraules $u, v$ sobre $A$. D'altra banda, indicarem amb $w(t)$ el {\em prefix 
de $w$ de longitud $t$}\index{paraula+prefix de longitud $t$,}. Formalment, si 
$w = \varepsilon$, $w(t) = \varepsilon$ i si $w = w_1 \ldots w_k$, aleshores 
$w(t) = w_1 \ldots w_t$.

Per últim, indicarem amb $A^*$ el {\em monoide lliure sobre $A$}\index{monoide 
lliure}, és a dir, el conjunt de totes les paraules sobre $A$.

\subsubsubject{Grups lliures}

En aquesta secció construirem el {\em grup lliure} de base $X$ un conjunt 
qualsevol i descriurem algunes de les seves propietats a mode de teoremes.

Donat $X$ un conjunt qualsevol, agafem un conjunt d'inverses formals de $X$, 
que indicarem amb $X^{-1}$, format per símbols $x^{-1}$ per a cada $x \in X$. 
Formalment, $X^{-1}$ és un conjunt del mateix cardinal que $X$ juntament amb 
una funció bijectiva ${}^{-1} \colon X \to X^{-1}$, de manera que, per a tot 
$x \in X$, la imatge de $x$ per ${}^{-1}$ s'escriu $x^{-1}$. Amb aquests 
conjunts podem formar el monoide lliure ${(X \cup X^{-1})}^*$ els elements del 
qual són llistes finites d'elements de $X$ i de les seves inverses formals. 
Enfatitzem que els elements de $X^{-1}$ són inverses formals: si $X = \{a, 
b\}$, aleshores $b$, $aba^{-1}$, $ab$ i $aba^{-1}a$ són elements diferents en 
el monoide lliure ${(X \cup X^{-1})}^*$.

Afegirem dues convencions: abusant del llenguatge, si $a \in X^{-1}$ i $a = 
x^{-1}$ per a algun $x \in X$, aleshores $a^{-1}$ denotarà $x$, o sigui, de 
manera informal, el que feim és fer involutiva la funció ${}^{-1}$. D'altra 
banda, estendrem les inverses formals a les paraules. Per a la paraula buida 
definim $\varepsilon^{-1} = \varepsilon$, i si
\startformula
w=x_1 x_2 \ldots x_{k-1}x_k \in {(X \cup X^{-1})}^*,
\stopformula
aleshores $w^{-1}$ indicarà la paraula
\startformula
w^{-1} = x_k^{-1}x_{k-1}^{-1}\ldots x_2^{-1} x_1^{-1} \in {(X \cup X^{-1})}^*.
\stopformula
En poques paraules, amb aquestes convencions, hem aconseguit que ${}^{-1}$ 
sigui un morfisme en ${(X \cup X^{-1})}^*$ respecte de la concatenació de 
paraules.

Sobre ${(X \cup X^{-1})}^*$ definim la relació $\sim$ definida de la manera 
següent: dues paraules $u$, $v$ són equivalents, i.e., $u \sim v$, si, i 
només si, podem passar d'una a l'altra amb un nombre finit de passes del tipus 
següent:
\startitemize[n]
\item Reducció: l'eliminació d'una ocurrència de $xx^{-1}$, per a qualque $x 
\in X\cup X^{-1}$.
\item Amplificació: l'afegit d'una ocurrència de $xx^{-1}$, per a qualque $x 
\in X \cup X^{-1}$.
\stopitemize
És clar que $\sim$ és una relació d'equivalència. A més, preserva 
l'estructura de ${(X \cup X^{-1})}^*$: si $u_1 \sim u_2$ i $v_1 \sim v_2$, 
aleshores $u_1 \cdot v_1 \sim u_2 \cdot v_2$ i $u_1^{-1} \sim u_2^{-1}$. Per 
tot això, es pot veure fàcilment que ${(X \cup X^{-1})}^*/\sim$ és un grup 
(l'element neutre és $[\varepsilon]_\sim$ i la inversa de $[w]_\sim$ és 
$[w^{-1}]_\sim$). Anomenarem a aquest grup el {\em grup lliure de base 
$X$}\index{grup+lliure}, i l'indicarem amb $F(X)$\symbol{$F(X)$}. Si $X$ té 
només un sol element, aleshores $F(X) \cong \integers$, el qual és l'únic 
grup lliure abelià no trivial. Si $X = \emptyset$, aleshores $F(X) \cong 
\{1\}$.

Una paraula sobre $X \cup X^{-1}$ és {\em reduïda}\index{paraula+reduïda} si 
no conté cap ocurrència de la forma $xx^{-1}$, amb $x \in X \cup X^{-1}$. 
Qualsevol paraula que només conté una lletra i $aba^{-1}$ són paraules 
reduïdes. La paraula buida també és reduïda. En canvi $abb^{-1}b$ i 
$aba^{-1}abb^{-1}a^{-1}$ no són paraules reduïdes.

Donada una paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$, existeix una paraula reduïda 
$u$ tal que $w \sim u$, obtinguda aplicant un nombre finit de passes de 
reducció \cite[extras={, Lema~6.1}][grillet], la qual indicarem amb 
$red(w)$\symbol{$red(w)$}. A més, aquesta paraula és única, o sigui, no 
existeix cap altra paraula reduïda dins la classe d'equivalència de $w$ 
\cite[right={; }, extras={, Lema~6.4}][grillet]\cite[left=,extras={, 
Teorema~2.1.2}][robinson]. Això fa que el grup lliure $F(X)$ sigui isomorf al 
grup format pel conjunt de paraules reduïdes sobre $X \cup X^{-1}$ amb 
l'operació binària consistent en la concatenació de dues paraules reduïdes 
seguida de la reducció (per exemple, l'aplicació que envia cada paraula 
reduïda $u$ a la classe d'equivalència $[u]_\sim$ és un isomorfisme entre 
aquests grups).

Estrictament parlant $X$ no està inclòs dins $F(X)$, ara bé, tenim la 
inclusió natural $\eta$ de $X$ en $F(X)$ tal que $\eta(x) = [x]_\sim$, per a 
tot $x \in X$. A més, aquesta inclusió es pot estendre per a $X^{-1}$ de la 
forma $\eta(x^{-1}) = [x^{-1}]_\sim$, per a tot $x \in X$. Per construcció de 
$F(X)$, això fa que tot element de $F(X)$ es pugui posar com a producte de 
elements de $\eta(X)$ i els seus inversos, la qual cosa implica el resultat 
següent:

\starttheorem{\cite[right={; }, extras={, 
Proposició~6.6}][grillet]\cite[left=,extras={, Proposició~1.6}][cgt]}El grup 
lliure $F(X)$ està generat per $\eta(X)$.
\stoptheorem

Una propietat molt important que compleix el grup lliure, la qual el 
caracteritza, és la {\em propietat universal}\index{propietat universal}, que 
podem enunciar com el resultat següent:

\starttheorem{\cite[extras={, Teorema~6.7}][grillet]} Sigui $\eta \colon X \to 
F(X)$ la inclusió natural. Per a tota funció $f$ de $X$ a un grup qualsevol 
$G$, existeix un únic morfisme $\nu \colon F(X) \to G$ tal que $\nu \circ \eta 
= f$.
\stoptheorem

\startcorollary[thme:gruplliure-imatge]{\cite[grillet, robinson]} Sigui $G$ un 
grup generat per un conjunt $X$. Aleshores existeix un homomorfisme exhaustiu 
de $F(X)$ a $G$, o sigui, tot grup és imatge del grup lliure per a qualque 
homomorfisme.
\stopcorollary

Altres propietats interessants del grup lliure són les seguents:

\starttheorem{\cite[extras={, Teorema~2.1.3}][robinson]} Sigui $G$ un grup i 
$X$ un subconjunt de $G$. Si tot element $g$ de $G$ es pot escriure de forma 
única com a $g = x_1^{l_1} \ldots x_r^{l_r}$ amb $r \geq 0$, $x_i \in X$, $l_i 
\in \integers$ tals que $l_i \neq 0$ i $x_i \neq x_{i+1}$, per a tot $i \in 
\{0, \ldots, r\}$, aleshores $G$ és lliure de base $X$.
\stoptheorem

\starttheorem{\cite[extras={, Proposició~1.9}][cgt]} Sigui $X$ un subconjunt 
de $G$ tal que $X \cap X^{-1} = \emptyset$. Aleshores $X$ és una base d'un 
subgrup lliure de $G$ si, i només so, no hi ha cap producte de la forma $x_1 
\ldots x_r$ que sigui trivial, amb $r \geq 1$, $x_i \in X \cup X^{-1}$ i $x_i 
\neq x_{i+1}^{-1}$, on $i \in \{0, \ldots, r\}$.
\stoptheorem

\starttheorem{\cite[robinson,cgt]}Siguin $X$, $Y$ conjunts qualssevol. 
Aleshores $F(X) \cong F(Y)$ si, i només si, $\lvert X \rvert = \lvert Y 
\rvert$.
\stoptheorem

Aquest darrer teorema permet definir el {\em rang d'un grup 
lliure}\index{grup+lliure+rang,} com el cardinal de qualsevol de les seves 
bases. En aquest sentit, indicarem amb $F_n$\symbol{$F_n$} el {\em grup lliure 
de rang $n$}.

Per últim, introduirem notació. Si $w$ és una paraula sobre $X \cup X^{-1}$, 
la {\em longitud reduïda} de $w$\index{longitud+reduïda d'una paraula}, que 
indicarem amb $\lvert w \rvert$\symbol{$\lvert w \rvert$}, és la longitud de 
la paraula reduïda de $w$, és a dir, $l(red(w))$. De forma òbvia tenim que, 
per a totes paraules $u, v$ sobre $X \cup X^{-1}$, $\lvert uv \rvert \leq 
\lvert u \rvert + \lvert v \rvert$. D'altra banda, si $v, w \in {(X \cup 
X^{-1})}^*$, aleshores direm que $v$ i $w$ són {\em iguals dins el grup lliure 
$F(X)$}\index{paraules+iguals dins el grup lliure} si $red(v) = red(w)$ o, 
equivalentment, si $[v]_\sim = [w]_\sim \in F(X)$.

\subsubsubject{Presentacions de grups}

Una presentació d'un grup és una generalització del concepte de taula de 
productes d'un grup. Donat un grup $G$, la  seva taula de valors proporciona 
informació sobre el resultat del producte entre dos elements qualssevol. 
Però, en aquesta taula, hi ha valors que són obvis (per exemple, sempre $g 
g^{-1} = 1$, per a tot $g \in G$) o que es poden deduir d'altres productes (per 
exemple, si $g^3 = 1$, aleshores $g^2 = g^{-1}$ per a tot $g \in G$). Per tant, 
hi ha certes relacions {\em importants} entre els elements d'un grup que el 
determinen. Intuïtivament, per exemple, la relació $a^n = 1$ determina el 
grup $\integers_n$. Ara bé, així com és important especificar les relacions 
que governen el grup, també ho és especificar el seus elements, ja que el 
grup $\integers_n \oplus \integers$ amb $a = (1,0)$ i $b = (0,1)$ també 
compleix que $a^n = 1$. Per tant, informalment, una presentació no serà res 
més que un conjunt d'elements, que direm {\em generadors}, i un conjunt de 
{\em relacions} entre ells.

Per definir formalment les presentacions de grups ens fa falta recordar què 
s'entèn per grup quocient.

\startdefinition
Sigui $G$ un grup i $N$ un subgrup normal de $G$. El {\em grup quocient de $G$ 
per $N$} (també anomenat {\em grup quocient de $G$ mòdul 
$N$})\index{grup+quocient}, que indicarem amb $G/N$\symbol{$G/N$}, és el grup 
format pels cosets de $N$, $\{g N \mid g \in G\}$, i el producte $\cdot$ 
definit com
\startformula
a N \cdot b N = ab N.
\stopformula
A més, l'aplicació $x \mapsto xN = Nx$ és un morfisme exhaustiu entre $G$ i 
$G/N$ el nucli del qual és $N$. Aquesta aplicació s'anomena {\em projecció 
canònica dins el grup quocient $G/N$}\index{grup+quocient+projecció 
canònica,}.%\cite[grillet]
\stopdefinition

D'ara en endavant, si $G$ és un grup i $X$ és un subconjunt de $G$, indicarem 
amb $\langle \langle X \rangle \rangle$\symbol{$\langle \langle X \rangle 
\rangle$} la {\em clausura normal de $X$ en $G$}\index{clausura normal}, és a 
dir, el subgrup normal més petit que conté $X$.


\startdefinition Una {\em presentació {\cal P} amb generadors $X$ i relacions 
$R$}\index{presentació}, que indicarem amb ${\cal P} = \langle X \mid R 
\rangle$\symbol{${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$}, és un parell ordenat 
$(X, R)$, on $X$ és un conjunt qualsevol i $R \subseteq F(X) \times F(X)$ és 
una relació binària sobre el grup lliure $F(X)$. Una presentació defineix el 
grup quocient $F(X)/\langle \langle R_* \rangle \rangle$, que indicarem amb 
$G({\cal P})$, on 
\startformula
R_* = \{uv^{-1} \mid (u, v) \in R\} \subseteq F(X).
\stopformula

Dues presentacions ${\cal P}$ i ${\cal P'}$ són {\em 
equivalents}\index{presentació+equivalent} si els seus grups $G({\cal P})$ i 
$G({\cal P^\prime})$ són isomorfs. Freqüentment, per abús de llenguatge, 
s'identifica la presentació ${\cal P}$ i el seu grup $G({\cal P})$.
\stopdefinition

Per exemple, si $X = \{a \}$ i $R = \{(a^8,1) \mid a \in X\}$, aleshores 
$\langle X \mid R \rangle = \integers_8$ (realment el que passa és que el grup 
que representa aquesta presentació és isomorf a $\integers_8$).

Per comoditat, sovint s'abusa de la notació i s'escriuen els parells ordenats 
de la relació $R$ com una igualtat. Així, l'exemple anterior s'ecriuria com 
$\langle a \mid a^8 = 1\rangle$. A més, moltes vegades les relacions del tipus 
$u = v$ són escrites en la forma $uv^{-1} = 1$. Per exemple, $\langle a, b 
\mid ab = ba \rangle = \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1\rangle$ i $\langle 
a \mid a^8 = a^3\rangle = \langle a \mid a^5 = 1\rangle$.

\startdefinition Sigui $G$ un grup i ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ una 
presentació. Direm que ${\cal P}$ és una {\em presentació de 
$G$}\index{presentació+d'un grup} si $G({\cal P}) \cong G$.
\stopdefinition

\startdefinition Una presentació ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ és {\em 
finita}\index{presentació+finita} quan $X$ i $R$ són ambdós finits. I un 
grup $G$ és {\em finitament presentable}\index{grup+finitament presentat} si 
existeix una presentació finita de $G$.
\stopdefinition

Notem que, pel Corol·lari \in[thme:gruplliure-imatge], tenim que tot grup és 
imatge del grup lliure. Per tant, aplicant el Primer Teorema d'Isomorfia, tenim 
que tot grup és isomorf a un grup d'una presentació.

D'altra banda, la definició que hem donat és equivalent a una definició 
basada en relacions d'equivalència (amb una construcció anàloga del grup 
lliure): si $X$ és un conjunt qualsevol i $R$ és un subconjunt de  ${(X \cup 
X^{-1})}^*$, es pot definir la relació d'equivalència $\approx$ definida de 
la manera següent: dues paraules $u, v \in {(X \cup X^{-1})}^*$ són tals que 
$u \approx v$ si, i només si, es pot passar d'una a l'altra amb un nombre 
finit de passes del tipus següent:
\startitemize[n]
\item Reducció: l'eliminació d'una ocurrència de $xx^{-1}$, per a qualque $x 
\in X\cup X^{-1}$, o d'una ocurrència d'una relació $r \in R$.
\item Amplificació: l'afegit d'una ocurrència de $xx^{-1}$, per a qualque $x 
\in X \cup X^{-1}$, o d'una ocurrència d'una relació $r \in R$.
\stopitemize
Es pot veure que $\approx$ és d'equivalència i que $F(X)/\approx$ és un 
grup, que coincideix amb $G({\cal P})$ amb ${\cal P} = \langle X \mid 
R'\rangle$, on $R' = \{(red(r),1) \mid r \in R\} \subseteq F(X) \times F(X)$ 
\cite[magnus].

Tot seguit, oferim diverses presentacions dels grups més usuals:
\startitemize[n]
\item El grup lliure $F(X)$ té presentació $\langle X \mid \emptyset\rangle$. 
En particular $\integers$ té $\langle a \mid \emptyset \rangle$ com a 
presentació (recordem que $\integers$ és isomorf al grup lliure $F_1$ de rang 
$1$).
\item El grup $\integers$ (com els altres grups) també té altres 
presentacions menys {\em naturals}, com, per exemple, $\langle a, b \mid ababa 
= 1\rangle$ \cite[millerIII].
\item Qualsevol grup finit $G = \{a_1, \ldots, a_n\}$ té una presentació 
finita: la corresponent a agafar tots els seus elements com a generadors i 
totes les relacions de la taula de productes de $G$ (aquestes tenen la forma 
$a_i a_j = a_k$ i n'hi ha $n^2$).
\item $\integers_n \cong \langle a \mid a^n = 1 \rangle$.
\item $\integers \oplus \integers$ té $\langle a, b \mid ab = ba\rangle$ com a 
presentació.
\item Una presentació de $\integers_n \oplus \integers$ és $\langle a, b \mid 
a^n = 1\rangle$.
\item El grup dièdric $D_n$ d'ordre $2n$ té com a presentació
\startformula
\langle a, b \mid a^2 = 1, b^n = 1, a^{-1}ba = b^{-1} \rangle.
\stopformula
\item El grup trivial té com a presentacions
\startformula
\langle a, b \mid a^{-1} b a = b^2, b^{-1}a b=a^2 \rangle
\stopformula
i
\startformula
\langle a, b \mid a^{-1} b^n a = b^{n+1}, a = w \rangle,
\stopformula
on $w$ és una paraula sobre $\{a, b\}$ tal que la suma dels exponents de $a$ 
és 0 i $n > 0$ \cite[millerIII, millerIII-article]. Per tant, no és gens 
senzill saber si una presentació correspon al grup trivial.
\item Siguin $m, n \in \integers$. El {\em grup de 
Baumslag-Solitar}\index{grup+Baumslag-Solitar,}, que indicarem amb 
$BS(m,n)$\symbol{$BS(m,n)$}, és el subgrup del grup $\text{Homeo}(\reals)$ de 
les funcions homeomorfes de $\reals$ generat per les funcions lineals $a(x) = 
nx$ i $b(x) = x + m$ \cite[meier]. Aquest grup té com a presentació $\langle 
a, b\mid ab^m a^{-1}= b^n \rangle$.
\stopitemize

Finalment, notem que si ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ és una 
presentació, aleshores tenim l'aplicació $\iota \colon X \rightarrow G({\cal 
P})$ definida com la composició $p \circ \eta$ de la inclusió natural $\eta 
\colon X \to F(X)$, tal que $\eta(x) = [x]$ per a tot $x \in X \cup X^{-1}$, i 
la projecció natural $p \colon F(X) \to F(X)/N$, on $N = \langle \langle R_* 
\rangle \rangle$, tal que $p([w]) = [w]N$, per a tot $[w] \in F(X)$. Aquesta 
aplicació es pot estendre a ${(X \cup X^{-1})}^*$ com
\startformula
\iota(w) = \iota(w_1) \cdots \iota(w_r) \in G({\cal P}),
\stopformula
per a tota paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$.

\starttheorem Per a tota presentació {\cal P} = \langle X \mid R \rangle, 
$\iota(X)$ genera $G({\cal P})$.
\stoptheorem

\startdemo Sigui $g \in G({\cal P})$, aleshores $g = [w]N$ per a alguna paraula 
$w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$. Per tant,
\startformula
g = [w_1 \ldots w_r]N = ([w_1]\cdots [w_r])N = [w_1]N \cdots [w_r]N.
\stopformula
Cada $w_i$ és de $X$ o de $X^{-1}$. Si $w_i = x^{-1}$ per a algun $x \in X$, 
aleshores $[w_i]N = [x^{-1}]N = [x]^{-1}N = \iota(x)^{-1}$. Per tant, $g$ es 
pot posar com a producte d'elements de $\iota(X)$ i els seus inversos.
\stopdemo

De forma habitual s'identifica $X$ amb $\iota(X)$, denotant els seus elements 
amb els mateixos símbols i, per tant, de forma freqüent es diu que $X$ {\em 
genera} $G({\cal P})$. Per exemple, pel grup $\integers \oplus \integers = 
\langle a, b \mid ab = ba \rangle$, identifiquem $a$ i $b$ amb $\iota(a)=(1,0)$ 
i $\iota(b) = (0,1)$.


\subsubsubject{El problema de la paraula}

Sigui $G$ un grup i $X$ un subconjunt de $G$. Aleshores l'aplicació $\pi 
\colon {(X \cup X^{-1})}^* \to G$\symbol{$\pi$} consistent a enviar cada lletra 
$x \in X$ a l'element corresponent $\pi(x) = x \in G$ es pot estendre de manera 
natural a totes les paraules de $X \cup X^{-1}$ de la forma següent:
\startitemize[n]
\item $\pi(x^{-1}) = \pi(x)^{-1}$ per a tot $x \in X$.
\item Per a tota paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$,
\startformula
\pi(w) = \pi(w_1) \cdots \pi(w_r) \in G.
\stopformula
\stopitemize
Per tant, $\pi$ és un morfisme de monoides entre ${(X \cup X^{-1})}^*$ i $G$. 
De forma òbvia, si $X$ és un conjunt de generadors de $G$, aleshores $\pi$ 
és exhaustiva. En particular, si ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ és una 
presentació, aleshores, com que $X$ és un conjunt de generadors de $G({\cal 
P})$%\footnote{Recordem que abusem del llenguatge, identificant $\iota(X)$ i 
$X$, i que, realment, $\iota(X)$ és el generador de $G(\cal{P})$.}
, llavors $\pi \colon {(X \cup X^{-1})}^* \to G({\cal P})$ és un morfisme 
exhaustiu.

\startdefinition Sigui $G$ un grup i ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ és 
una presentació de $G$. Una paraula $w$ sobre $X \cup X^{-1}$ és {\em 
nul-homotòpica per ${\cal P}$}\index{paraula+nul-homotòpica per una 
presentació} si, i només si, $\pi(w) = 1 \in G$.
\stopdefinition

\startdefinition Sigui $G$ un grup i ${\cal P} = \langle x_1, \ldots, x_n \mid 
r_1, \ldots, r_k\rangle$ una presentació {\em finita} de $G$. El {\em problema 
de la paraula per a {\cal P}}\index{problema de la paraula+per una presentació 
finita} consisteix en trobar un algorisme que, donada una paraula $w \in {(X 
\cup X^{-1})}^*$, decideixi si $\pi(w) = 1$ o $\pi(w) \neq 1$.
\stopdefinition

\subsubject{Eines geomètrics per fer front al problema de la paraula}

Posar la proposició 2.2 de l'article de Joe.
\completepublications[criterium=cite] %all per tots

\title{Llista de símbols}
\placesymbol

\title{Índex alfabètic}
\placeindex

\stoptext

\startitemize[1]
\item $\pi(x^{-1}) = \pi(x)^{-1}$ per a tot $x \in X$.
\item Per a tota paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$,
\startformula
\pi(w) = \pi(w_1) \cdots \pi(w_r) \in G.
\stopformula
\stopitemize

\startdefinition
Sigui $X$ un conjunt qualsevol i $R \subseteq F(X) \times F(X)$ una relació 
binària sobre el grup lliure $F(X)$. Una {\em presentació ${\cal P}$ amb 
generadors $X$ i relacions $R$}\index{presentació}, que indicarem amb ${\cal 
P} = \langle X \mid R \rangle$, és el grup quocient $F(X)/\langle \langle R_* 
\rangle \rangle$, on
\startformula
R_* = \{uv^{-1} \mid (u, v) \in R\} \subseteq F(X).
\stopformula
Quan ens convengui diferenciar entre la presentació com a un parell ordenat de 
símbols i el grup quocient en si, indicarem amb ${\cal P}$ la presentació i 
$G({\cal P})$ el grup que aquesta representa.
\stopdefinition
___________________________________________________________________________________
If your question is of interest to others as well, please add an entry to the 
Wiki!

maillist : ntg-context@ntg.nl / http://www.ntg.nl/mailman/listinfo/ntg-context
webpage  : http://www.pragma-ade.nl / http://tex.aanhet.net
archive  : https://foundry.supelec.fr/projects/contextrev/
wiki     : http://contextgarden.net
___________________________________________________________________________________

Reply via email to