Prezado Nicolau, Gostei muito de suas observações sobre as questões, especialmente aquelas, esclarecedoras, sobre o questionamento de que probabilidade está associada ao problema etc. É pena que eu não consegui abrir o segundo arquivo que você enviou. Quanto a resposta ao problema que você acha que está errada, ela é dada no artigo citado, e que pode ser vista como uma conseqüência do que o autor lá desenvolveu. Obrigado Benedito Freire "Nicolau C. Saldanha" wrote: > On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote: > > > On Sun, 14 May 2000, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > Curiosidades: > > > > > > 1) No plano, existem 3 vezes mais triângulos obtusos do que triângulos > > > acutângulo!! > > > > > > O matemático canadense, Richard K. Guy (já falecido, se não me > > > engano) provou este fato em 1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175). > > > > > > Alguém conhece uma outra demonstração? > > > > > > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante > > > colocado em 1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles > > > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de "Alice no País das Maravilhas"): > > > "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade > > > desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?" > > > Alguëm se habilita? Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2 > > > > Acho que estes dois problemas estão formulados de forma incompleta. > > O que significa tomar três pontos "aleatoriamente" no plano? > > Para dar sentido a esta expressão, é preciso dizer que probabilidade > > é associada aos eventos fundamentais: isto é o que se chama > > dar a medida de probabilidade do problema. > > Qual é, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido > > ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]? > > Depois de responder, notei que não apenas o enunciado é incompleto > mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1), > a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e não a expressão complicada, > aliás com parêntesis descasados, que aparece no item (2). > > De qualquer forma, encontrei uma interpretação que me pareceu satisfatória > para obter a resposta do item (a). Se tomamos três pontos ao acaso > no círculo unitário (a curva apenas, não o disco) então a probabilidade > de obtermos um triângulo acutângulo é realmente 1/4. > A demonstração não é difícil. > > Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros > pontos A e B simétricos em relação ao eixo horizontal, como indicado. > Se o ângulo entre o eixo horizontal e o raio OA é alfa, > então o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa) > (marcado em vermelho na figura) para que o triângulo ABC seja acutângulo. > Como alfa assume um valor aleatório entre 0 e (pi/2), > não é difícil concluir que a probabilidade de que ABC seja acutângulo > é 1/4. > > Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido > (por exemplo, pontos aleatórios em um disco) > a resposta provavelmente será outra. > > []s, N. > > ------------------------------------------------------------------------ > Name: agudo.gif > agudo.gif Type: GIF Image (IMAGE/gif) > Encoding: BASE64
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