On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote:
> A IMO2000 esta disponivel agora tambem em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp
> (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif).
>
E ai, ninguém comenta nada da prova?
Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas)
e do 5 (2^n + 1 é múltiplo de n e n tem 2000 fatores primos).
Lembro do enunciado do problema 3:
Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas
em uma linha horizontal, não todas no mesmo ponto.
Para um número real positivo l (lambda na prova),
defina um movimento da seguinte forma:
Escolha duas pulgas com posições A e B, A à esquerda de B;
A pulga que estava em A pula para o ponto C à direita de B
com BC/AB = l.
Determine os valores de l para os quais, para qualquer M
na linha e qualquer posição inicial das pulgas,
existe uma seqüência finita de movimentos que leva todas
as pulgas para posições à direita de M.
Segue lá embaixo uma solução xroteada, ou seja, trocando
a por n, b por o, ... Eu recomendo só ler depois de tentar!
Obs: letras acentuadas e pontuação não foram alteradas.
Não reclamem se tiverem dificuldades em decifrar,
eu publicarei uma versão limpa depois...
[]s, N.
cuidado, solução se aproximando!
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N erfcbfgn é cnen y >= 1/(a-1).
Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf:
(n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdüêapvn vasvavgn qr zbivzragbf
dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb
dhnydhre cbagb cersvknqb Z;
(o) dhr cnen y < 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvçãb vavpvny qnqn qnf chytnf
rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz aúzreb svavgb qr zbivzragbf
wnznvf nypnaçnz bh hygencnffnz Z.
Pbzrçnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvçõrf vavpvnvf
qnf chytnf, pbz k_1 <= k_2 <= ... <= k_a, qr gny sbezn dhr k_a é n cbfvçãb
qn chytn znvf à qvervgn.
Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}).
B cbagb Z pynenzragr rfgá à qvervgn qr gbqnf nf chytnf.
Nsveznzbf dhr fr ncóf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvçõrf fãb
k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf
Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1})
ragãb Z' <= Z; vfgb pbapyhveá n qrzbafgençãb.
Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncóf hz zbivzragb.
Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a
ragãb k'_a - k_a = y*(k_a - k_v) r k'_a - y*k_a = k_a - y*k_v r Z' = Z.
Dhnydhre bhgeb pnfb é nvaqn znvf snibeáiry.
B vgrz (n) r n zbgvinçãb cnen n sóezhyn qr Z rh qrvkb cnen ibpêf crafnerz...
