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Caro Carlos,
Sabe-se que quando o periodo da representacao
decimal de 1/n possui n-1 casas decimais (como é o caso de n = 7, 17, 19, 23,
29, 47, 59, 61, 97, etc), toda fracao r/n (com r variando de 2 a n-1) possuirá
um período composto pelos mesmos algarismos do periodo de 1/n, na mesma ordem
circular, mas variando a posição dos algarismos (A demonstracao se
encontra na Eureka 1)
Trocando em miúdos, se 1/n =
0,abcdefabcdefabcdef... há um r para o qual r/n =
0,bcdefabcdefabcdefa... , onde o negrito representa o periodo
de representacao decimal das fracoes.
Assim, sendo 1/97 =
0,abcdef....vxyzabcdef....vxyzabcdef....vxyz... , deve haver um
k (1 < k < 97) tal que:
k/97 =
0,xyzabcdef....vxyzabcdef....vxyzabcdef....v...
Ou seja, 1000k/97 = 100x + 10y + z +
0,abcdef...vxyzabcdef...vxyzabcdef...vxyz...
Ou: 1000k/97 = 100x + 10y + z + 1/97
E entao: (1000k - 1)/97 = 100x + 10y + z. Seja 100x +
10y + z = H.
Assim, 1000k - 1 = 97H --> 97H = 1000(k-1) +
999, logo os 3 últimos algarismos de 97H sao 9s.
Considere H, i, j, m como inteiros nao-negativos.
Para que um 97H termine em 9, H deve ser um número da forma
10i + 7.
Assim, 97H = 970i + 679 = 900i + 600 + 70i + 70 + 9 =100(9i +
6) + 10(7i + 7) + 9
Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve
terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6.
Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j
+ 6.
97H = 970i + 679 = 9700j + 5820 + 679 = 1000(9j + 6) + 100(7j
+ 4) + 99
Para que 97H termine em 999, portanto, (7j + 4) deve terminar
em 9, ou seja, 7j termina em 5.
Isto ocorre se e somente se j for um número da forma 10m
+ 5.
Assim, H = 10i + 7 = 10(10j + 6) + 7 = 100j + 67 =
100(10m + 5) + 67 = 1000m + 567. Para todo m inteiro nao-negativo, portanto, 97H
terminará em 999, o que nos dá um k inteiro.
Para m > 0, no entanto, H > 1566 e, portanto, 97H >
151902.
Assim, 1000k > 151903 --> k > 151 , o que
nao é possivel, pois 0 < k < 98
Logo, m = 0 --> H = 567 --> 1000k = 55000
--> k = 55
Como H = 100x + 10y + z , com x,y,z
inteiros nao-negativos menores que 10:
100x + 10y + z = 567 --> x = 5 y =
6 z = 7
Portanto, o último algarismo do período de 1/97
é 7
o
penúltimo algarismo do período de 1/97 é 6
o
antepenúltimo algarismo do período de 1/97 é 5
Abraços, Terezan
Espero ter
ajudado.
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