Ola Pessoal, E verdade que : EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO. Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice. 1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD igual AB. 2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE igual a AC 3) Ligando D com E Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois : 1) AD = AB (por construcao) 2) AE = AC (por construcao) 3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice) Segue que DE=BC. Trancando por A uma paralela a BC. Seja "r" esta paralela. Agora, seja F o pe da perpendicular a "r" tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a "r" tracada por E. Entao, claramente : DE >= AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG) Mas : 1)DE = BC = a 2)AD = AB = c 3)AE = AC = b 4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C 5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B Portando : a >= c*cos(C) + b*cos(B) Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, chegaremos a : b >= a*cos(A) + c*cos(C) c >= b*cos(B) + a*cos(A) Somando estas tres desigualdades : a + b + c >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) 2p >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) Portanto : DESIGUALDADE WAGNER : p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) Eu acho que a melhor maneira de homenagear e demonstrar gratidao para um Grande Mestre e mostrando que, com ele, aprendemos alguma coisa ... A desigualdade acima e simples, bem como a sua demonstracao, mas e uma sincera homenagem aquele que muito me (nos) ensinou : Prof EDUARDO WAGNER. ( Wagner - me permita chama-lo assim agora, Prof - voce provou que NEM TODAS AS ESTRELAS ESTAO MAPEADAS ... ) Um abraco a Todos, Um abraco especial ao Prof Eduardo Wagner Paulo Santa Rita 5,1141,10052001 _________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
