Ola Fabio Arruda, Ola Colegas da Lista, Cordiais Saudacoes a Todos ! A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi : Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z) formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO. E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la. Para ajudar, dou a sugestao : 1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em "x". 2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em "x" acima ( ex: (1,1,1)) 3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira para a equacao 4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao 5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as variaveis. 6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ... Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao : x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz. 1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas solucoes inteiras ? 2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,30052001 Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico numero natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ? >From: Fábio Arruda de Lima <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Olimpíada Brasileira >Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300 > >Galera estava viajando e "cuidando" do dinheiro de vocês. >Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última questão deixada pelo >Paulo Santa Rita. >Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z possui apenas solução inteira e são >infinitas. >Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de comentar um assunto >recente desta lista, referente ao conteúdo programático da OMB. Parece-me >que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria, >Asiática,...exigem muito mais "conhecimento matemático" que a nossa. Vejo >que a OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma >inspiração de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático >na OBM. Acho também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente >porque os assuntos não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas de >matemática está intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de >ferramentas (conjunto de técnicas) que cada um possui, o resto é >inspiração. A conjugação de técnicas permite resolver a grande maioria dos >problemas. Acho que poderíamos fazer um mesclado entre as duas coisas: >conhecimento e criativadade. >Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito conhecida na >Informática:"dividir para conquistar". Assim, vamos separar o conjunto dos >inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte >positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós dividimos >o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total >(inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio >conjunto: >Com dois números: >par+par=par >impar+impar=par >par+impar=impar+par=impar >Com três números: >par+par+par=par >par+impar+par=impar >impar+impar+par=par >impar+impar+impar=impar >Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em termos de pares e impares e >continuar a solução. Tentem é um bom exercício... >Obrigado pela atenção >Fábio Arruda > > > > _________________________________________________________________________ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.