oi marcio, acho que vc leu a questao errada...pois...nao e 1/raiz_2(c^2 + 2*a*b)que tem na prova e sim... 1/raiz_2(c^2 + 8*a*b) -- Mensagem original -- >Ola Marcio, >Ola Pessoal, > >SALVO MELHOR JUIZO, nao acho que o caminho que voce delineou abaixo seja >bom >... Eu agora estou sem tempo para pensar com mais acuidade, mas, em minha > >opiniao, voce deve partir da conhecida desigualdade entre as medias >aritmetica e geometrica : > >(a + b)/2 >= raiz_2(a*b) > >Daqui : a + b >= 2*raiz_2(a*b) => a + b + c >= c + 2*raiz_2(a*b) >a + b + c >= c + raiz_2(2)*raiz_2(a*b). >a + b + c >= raiz_2(c^2 + 2*a*b) >1/(a + b + c) <= 1/raiz_2(c^2 + 2*a*b) > >c/(a + b + c) <= c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)... Desigualdade (1) > >Agora, partindo de : >(b + c)/2 >= raiz_2(b*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a >a/(a + b + c) <= a/raiz_2(a^2 + 2*b*c) ... Desigualdade (2) > >E, finalmente, partindo de : >(a + c)/2 >= raiz_2(a*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a >b/(a + b + c) <= b/raiz_2(b^2 + 2*a*c) ... Desigualdade (3) > >Somando, membro a membro, as tres desigualdades : > >1<=c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)+ a/raiz_2(a^2 + 2*b*c)+ b/raiz_2(b^2 + 2*a*c) >Que e o que voce deseja demonstrar. > >Eu estou com pouco tempo, mas, atendendo o apelo do Prof Nicolau e do Colega > >Marcelo Rufino, que gostariam de ver solucoes diferentes das que sao >apresentadas no Site onde publicam as solucoes das questoes IMO, bolei, >neste ultimo domingo (ontem) duas outras maneiras diferentes de fazer aquela > >questao que a lenda diz ser a mais dificil de todas as IMOS : > >Se (a^2 + b^2)/(a*b + 1) e um inteiro, entao este inteiro e um quadrado >perfeito. > >1) A primeira e geometrica, interpretando "a" e "b" como catetos de um >triangulo retangulo >2) A segunda e por progressoes geometricas, interpretando (a^2 + b^2)/(a*b >+ >1) como > >(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= a^2/(ab+1) + b^2/(ab + 1) >(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= 1/(b/a + 1/a^2) + 1/(a/b + 1/b^2) > >Em verdade, ha muito tempo atras, eu e o nosso muito estimado colega Bruno > >Leite, membro desta lista, ( que ha muito nao escreve para a lista e anda > >desaparecido) encontramo-nos num Chat e passamos a discutir sobre esta >questao, quando entao o Bruno me apresentou uma solucao "tipo resolucao >de >equacao do 2 grau" e eu apresentei as duas solucoes a que me referi acima. > >Eu nao guardo as solucoes que faco, de forma que tive que redescobrir meu > >raciocinio para dar este presente a voces. Logo, logo, quando nos proximos > >dias eu tiver um tempo livre, vou publicar aqui estas solucoes. > >De coracao, > >Um abraco a todos >Paulo Santa Rita >2,1657,09072001 > > > > > > > >>From: "Marcio" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: <[EMAIL PROTECTED]> >>Subject: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day >>Date: Mon, 9 Jul 2001 02:19:55 -0300 >> >>Bom, a ideia que eu tive foi bem parecida com a sua.. >>eu fiz x=bc/a^2, y=ac/b^2 e z=ab/c^2 pra tentar provar que >>1/sqrt(1+8x) + 1/sqrt(1+8y) + 1/sqrt(1+8z) >=1 se xyz=1. >>fazendo u=sqrtz(1+8x), v=sqrt(1+8y) e w=sqrt(1+8z), fico tendo que provar >>que: >>S2 >= S3, onde S1, S2, S3 sao as somas simetricas 1a1, 2a2, 3a3. >>o que eu posso usar eh que (u^2-1)(v^2-1)(w^2-1)=8^3, ou o que eh >>equivalente, >>(S1+S3)^2 - (S2+1)^2 = 256. >>alem disso, posso usar alguma coisa que use o fato de u,v,w serem >>positivos.. algo como: >>S1,S2 >=5; S3>=3 ou, a que eu tentei por ultimo, (S1)/3 >= (S3)^(1/3) >>aceito ajudas para juntar tudo isso.. >>Abracos, >>Marcio >> >>-----Mensagem original----- >>De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome > >>de >>Bruno Leite >>Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 23:53 >>Para: [EMAIL PROTECTED] >>Assunto: Re: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day >> >> >>Sobre o segundo problema: >> >>Se (a,b,c) satisfaz a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >>= >>1 >>ent?o (ka,kb,kc) (k>0) também satisfaz. Ent?o podemos supor que abc=1/8. >> >>Ent?o ficamos com 1/sqrt(1+8bc/a^2)+1/sqrt(1+8ac/b^2)+1/sqrt(1+8ab/c^2)>=1 >>ou 1/sqrt(1+8abc/a^3)+1/sqrt(1+8abc/b^3)+1/sqrt(1+8abc/c^3)>=1 ou >>1/sqrt(1+8/a^3)+1/sqrt(1+8/b^3)+1/sqrt(1+8/c^3)>=1 com abc=1/8. >> >>Veja que se 1/a^3=A, 1/b^3=B e 1/c^3=C temos ABC=512 e temos que provar >que >> >>1/sqrt(1+A)+1/sqrt(1+B)+1/sqrt(1+C)>=1 se ABC=512 (**) >> >>Eu consegui provar um resultado parecido só que mais fraco: >> >>1/(1+A)+1/(1+B)+1/(1+C)>=1/3 se ABC=512 >> >>Isso n?o implica (**) pois ( sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z) )^2 =< 3*(x+y+z), para >>quaisquer x, y, z >0. >> >>Bom, eu nem sei se estou no caminho certo, mas, mesmo assim, alguém tem >>alguma idéia para provar (**)? >> >>Bruno Leite >> >>-----Mensagem original----- >>De: Marcio <[EMAIL PROTECTED]> >>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >>Data: Domingo, 8 de Julho de 2001 18:28 >>Assunto: ENC: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day >> >> >> >Acabei de receber isso em outra lista.. Agora vou tentar fazer >> >(provavelmente sem sucesso :) e depois mandar meus comentarios pra gente >> >debater na lista! >> >Abracos, >> >Marcio >> > >> >-----Mensagem original----- >> >De: Mojca Miklavec [mailto:[EMAIL PROTECTED]] >> >Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 15:41 >> >Para: [EMAIL PROTECTED] >> >Assunto: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day >> > >> > >> > >> >1. Let ABC be an acute-angled triangle with circumcentre O. Let P on BC > >>be >> >the foot of the altitude from A. >> > >> >Suppose that <)BCA >= <)ABC + 30°. >> > >> >Prove that <)CAB + <)COP < 90°. >> > >> > >> >2. Prove that >> > >> >a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >= 1 >> > >> >for all positive real numbers a, b and c. >> > >> > >> >3. Twenty-one girls and twenty-one boys took part in a mathematical >> >contest. >> > >> >- Each contestant solved at most six problems. >> >- For each girl and each boy, at leat one problem was solved by both of >> >them. >> > >> >Prove that there was a problem that was solved by at least three girls > >>and >> >at leat three boys. >> > >> > >> >imo-problems is part of the IMO network, http://imonet.online.fr/ >> >remember to go there and add your name ! >> >---- >> >To receive these messages in a daily digest, email >> >[EMAIL PROTECTED] >> >To stop recieving these messages, email [EMAIL PROTECTED] >> >You can always view and reply to messages on-line, at >> >http://www.egroups.com/group/imo-problems >> >For more help, email [EMAIL PROTECTED] >> > >> > >> > >_________________________________________________________________________ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > > ___________________________________________________________ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.