é isso mesmo. Marcio -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Eduardo Casagrande Stabel Enviada em: quarta-feira, 11 de julho de 2001 06:01 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Problemas da IMO Eu achei uma soluccao bem rapida para esse problema. Vejam se confere com a de voces. Sejam {p1,p2,...,p(n!)} todas as permutaccoes de {1,2,...,n}. Fazendo a soma direta da S de todas as permutaccoes temos SOMA{ S(pi) } = SOMA{ k_i }*[1+2+...+n]*[n!/n] = SOMA{ k_i }*(n+1)*n!/2, esse ultimo numero certamente eh divisivel por n! pois (n+1) eh par. Supondo, por absurdo, que nao valesse o enunciado, teriamos {S(p1), S(p2), ..., S(p(n!))} um conjunto com todos os restos possiveis na divisao por n!, logo SOMA{ S(pi) }= 1+2+...+n! = n!(n!+1)/2 (mod n!), esse ultimo termo nao eh divisivel por n!, pois (n! + 1) eh impar. Chegamos a uma contradiccao. Logo existem duas permutaccoes diferentes b e c, tal que S(b) - S(c) eh divisivel por n!. Eduardo Casagrande Stabel. > 4. > > Seja n um inteiro impar maior do que 1 > e sejam k_1, k_2, ..., k_n inteiros dados. > Para cada uma das n! permutacoes a=(a_1, a_2, \dots, a_n) > de {1, 2, ..., n}, defina > > S(a) = \sum_{i=1}^n k_i a_i. > > Prove que existem duas permutacoes b e c, b != c, > tais que n! eh um divisor de S(b) - S(c). >