> Gostaria de ajuda para questões de polinômios que estiveram em provas do ITA:
> 3-) Se p(x) e q(x) são polinômios com coeficientes reais , possuem grau 2 e 4 respectivamente e > ainda p(i) = 0 e q(i) = 0; então podemos afirmar que p(x).q(x) é divisível por x^4+2x^2 +1. > Prove. Solucao: LEMA: Se f(x) eh um polinomio com coeficientes reais e se f(a+bi)=0, entao f(a-bi)=0. Como p(i) = 0 = q(i) entao i eh raiz p e de q. Logo, segundo o lema, -i tambem eh raiz de p e de q. Como i e -i sao raizes de p, entao [1] p(x) = (x-i)(x+i)u(x)=(x^2+1)u(x) para algum polinomio u(x). Como i e -i sao raizes de q, entao [2] q(x) = (x-i)(x+i)v(x)=(x^2+1)v(x) para algum polinomio v(x). De [1] e [2], p(x)q(x) = (x^2+1)(x^2+1)u(x)v(x) p(x)q(x) = (x^4 + 2x^2 + 1)u(x)v(x) isto eh, p(x)q(x) eh divisivel por x^4+2x^2+1. Abracos, Eric. > Obrigado pela atenção, > Raul