>
> Olá...
>
> Estava quebrando a cabeça num problema do ITA
>(http://www.exatas.f2s.com/matematica/ga005.html) quando achei a solução
>usando a 'fórmula' do baricentro: G((xa + xb + xc)/ 3, (ya + yb + yc)/3) do
>triângulo.
> Depois disso ficou bem fácil o exercício. mas fiquei me
>perguntando aqui, de onde que essa fórmula vem. Procurei em vários livros
>mas ela é sempre 'empurrada' e nunca demonstrada ou provada.
> Comecei a esboçar uma demonstração mas os cálculos ficaram muito
>monstruosos. Parti dum triângulo ABC, sendo A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3).
>M sendo o ponto médio de AC, N ponto médio de AB e P o ponto médio de BC. A
>partir disso achei a equação geral de duas medianas (primeiro calculando o
>coefiente angular, a partir de /\y//\x, e dai jogando na formula da equacao
>geral da reta), ambas gigantescas... ie.:
>EQG de BM: y(x1 + x3 - 2x2) - y2(x1 + x3 - 2x2) = x(y1 + y2 - 2y3) - x2(y1
>+ y3 - 2y2)
>EQG de CN: y(x1 + x2 - 2x3) - y3(x1 + x2 - 2x3) = x(y1 + y2 - 2y3) - x3(y1
>+ y2 - 2y3)
> A partir disso tentei trabalhar com esses dois 'monstros' ,
>isolando x numa e inserindo na outra, mas não fiz muitos progressos.. Não
>há alguma outra maneira de demonstrar que o Baricentro de um triângulo
>sempre corresponde a média simples de x e y?
>
>grato pela atenção..
>
>
>Como vai Fernando? Aqui vai uma solução para o seu problema.
Seja G o baricentro do triângulo ABC, e seja também Ma o ponto médio do lado
BC. Com isso temos que se G é baricentro então vetor(AMa)=(3/2)*vetor(AG):(1)
(qualquer livro de geometria demonstra isso), mas como Ma é ponto médio de BC
então XMa = (Xb + Xc)/2 e YMa = (Yb + Yc)/2, logo vetor(AMa) =
((Xb+Xc)/2-Xa;(Yb+Yc)/2-Yc)
e vetor(AG) = (Xg-Xa;Yg-Ya). Usando a igualdade (1) temos que (3/2)*(Xg-Xa)
= (Xb+Xc)/2 - Xa => Xg = (Xa+Xb+Xc)/3. Para acha Yg é igual.
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> Friedrich von Schiller's
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