E ai Marcio, andei tentando os problemas, confere com suas respostas o que fiz ate agora... A2 voce faz recorrencia em Pn(a probabilidade pedida para n moedas), fica Pn=P(n-1)*(1- 1/(2n+1)) + (1 - P(n-1))*(1/(2n+1)) , pois calcula a prob deve continuar impar, ou de virar impar. ai minha resposta deu Pn= 1/2 - 1/6( (2n-1)/(2n+1) )^n-1
A3 Igualando a 0 para achar raizes da equacao, voce acha sqrt(8m), logo colocamos m=2n^2, para algum n(a principio real). ai resolvendo voce acha as 4 raizes, e vendo os 3 casos ve que serve n=k ou n=sqrt(2)k, k natural. logo m=4k^2 ou m=2k^2, para todo k natural. A4 Se eu entendi certo bissecta quer dizer divide ao meio, certo? Essa eu fiz de um jeito que eu gosto muito, que é usar pesos nos vertices e estudar o centro de massa do sistema, que é unico, e isso muitas vezes ajuda na colinearidade e/ou concorrencia. percebi inicialmente que o triangulo RST esta com os vertices nas bases medias do ABC. Ai coloquei pesos que deixavam o centro de massa nessas bases e estudava as proporcoes que o RST dividia os lados do tringulo formado pelas bases medias(de area 1/4). achei essas proporcoes certinhas. sabendo as proporcoes voce usa o calculo da area a*b*sena/2 pois calcula com os lados inteiro, entao a area vale 1/4, ai depois so com a proporcao pedida, e vc acha a proporcao de area dos triangulos dos cantos, fora de RST, dentro do triangulo medio. Cada uma das tres areas deu (sqrt(5) - 2)/4. assim o resultado é 1/4 - 3*(sqrt(5)/4 - 2/4). deu 7/4 - 3*sqrt(5) / 4. nao expliquei bem, me pergunte se quiser saber detalhes.. A5 mod a: -1 == 2001 => 2002 == 0, logo a|2002. mod 3: se a=3k: -1 == 2001 => -1 == 0 mod 3. absurdo. se a=3k+2: 2^n+1 == 2001 == 0 absurdo denovo se a=3k+1: 1 - (-1)^n == 2001 == 0 lgo n tem que ser par. mod a+1: (-1)^n+1==2001, como n é par, -1==2001 => 2002 == 0, logo a+1|2002. mas os unicos divisores consecutivos a e a+1 de 2002 sao 13 e 14. lgo a=13. n=2 serve. se aumentamos o n em 1, a diferenca diminui(um multiplica por a, outro por a+1) assim a solucao é unica. B1 esse acho que todo mundo ja viu antes, cada casa é x*n + y(x e y variam de 1 a n). o vermelho soma n/2 vezes cada x e n/2 vezers cada y. ai é facil fazer a soma. preto é analogo. B3 <n> vale x, se so se x^2-x+1<n<x^2+x(2x valores). assim para esse intervalo temos a soma de PG: (2^x + 1/2^x)( 1/2^(x^2 -x +1) * ((1/2)^2x - 1)/(-1/2), fazendo a simplificacao temos: 2*2^(-x^2), com x variando de 0 a infinito. logo a soma fica 2*(1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^4 + ... ) mas parei por ai, alguma ideia? B4 digamos que a interseccao contenha certo p/q, p e q primmos entre si. ele é imagem de f^n para todo n. logo ha um x tq x - 1/x = p/q. tirando minimo e resolvendo temos em bascara sqrt(p^2 + (2q)^2) assim p e 2q satisfazem condicoes para serem pitagoricos, como 2q é par sera da forma 2uv, e p é u^2 - v^2. (nao ha o d, fator comum). substituindo isso e resolvendo se acha x=u/v. como p/q era imagem de f^2, u/v sera imagem de f, logo faremos a mesma coisa, achando v=v', depois analogamente v'=v'', infinitamente. mas temos q=uv=u*u'v'=uu'u''v''= ... logo tem infinitos fatores, absurdo, a nao ser que os u' sejam 1, mas testando 1 em p, nao ha possibilidade. logo a interseccao é vazia. vou tentando os outros depois, nao achei muitos avancos, a da funcao B5 parece uma que ja surgiu na lista, na qual a funcao parece uma recorrencia, mas nao descobri muita coisa. Abraço, Carlos > From: "Marcio" <[EMAIL PROTECTED]> > Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > Date: Sun, 2 Dec 2001 15:26:30 -0200 > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Subject: Fw: Putnam 2001 > > Aqui estao as questoes do Putnam 2001. Ainda nao tive tempo para pensar em > todas. O autor desse email parece ser muito bom, mas mesmo assim ele disse > que ainda nao conseguiu fazer 3 questoes, como vcs podem ver ai em baixo. > Eu ja tentei fazer as questoes desde a A1 ateh A5. A A5 ainda me restam 6 > valores de x para considerar, nao estou conseguindo elimina-los. As solucoes > para os problemas A eu achei na internet em algum lugar, nao me lembro > exatamente onde ("putnam 2001 problems" no google deve mostrar o site). > Descobri que eu deixei de considerar um caso importante na solucao do A3. A > minha solucao do A4 ficou meio grande, e deu resposta diferente da desse > site. Com certeza a minha esta errada, mas ainda nao achei aonde (eu fiz por > vetores, deu uma conta grande, mas diferente da que ta la). > O A5 eu ainda nao li a solucao. O A6 eu vou tentar agora, mas eh improvavel > eu obter algum avanco, haja vista que o autor do email ainda nao conseguiu > fazer. Se eu descobrir algo mando pra lista! Os 3 primeiros sao bem mais > faceis.. > Tentem fazer tmb! > Os problemas B's eu tento outro dia :) > > Eu nao estou cronometrando, mas acho que um dos principais obstaculos dessa > prova eh o tempo. Vc tem que pensar em 6 questoes no curto periodo de 3 > horas. > > Como curiosidade, um dos americanos que fecharam a IMO esse ano, ja foi > (antes de entrar para a universidade!) um fellow putnam, o q significa que > ele conseguiu ficar entre as 5 melhores pontuacoes individuais do putnam > (nao sei em q ano foi isso). > > Abracos, > Marcio > > ----- Original Message ----- > From: <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Sunday, December 02, 2001 1:19 PM > Subject: Re: Putnam 2001 > > >> Here are the questions to the 62nd annual Putnam exam, held today >> (Dec 1 2001). You have 6 hours; good luck :-) >> >> I will post the answers I have as soon as I can type them up. >> (Right now I lack answers to A6, B5, B6 .) >> >> There are links to Putnam problems and solutions at >> http://www.math.niu.edu/~rusin/problems-math/ >> >> >> >> A1. Consider a set S and a binary operation * on S (that is, for >> each a, b in S, a*b is in S). Assume that (a*b)*a = b for all >> a, b in S. Prove that a*(b*a) =b for all a, b in S. >> >> A2. You have coins C1, C2, ..., C_n. For each k, coin C_k is biased >> so that, when tossed, it has probability 1/(2k+1) of falling heads. >> If the n coins are tossed, what is the probability that the >> number of heads is odd? Express the answer as a rational function of n. >> >> A3. For each integer m, consider the polynomial >> P_m(x) = x^4 - (2m+4) x^2 + (m-2)^2 >> For what values of m is P_m(x) the product of two nonconstant >> polynomials with integer coefficients? >> >> A4. Triangle ABC has area 1. Points E,F,G lie, respectively, on >> sides BC, CA, AB such that AE bisects BF at point R, >> BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T. >> Find the area of triangle RST. >> [Illustration deleted.] >> >> A5. Prove that there are unique positive integers a, n such that >> a^(n+1) - (a+1)^n = 2001. >> >> A6. Can an arc of a parabola inside a circle of radius 1 have length >> greater than 4 ? >> >> B1. Let n be an even positive integer. Write the numbers 1, 2, ..., n^2 >> in the squares of an n x n grid so that the k-th row, from left to >> right, is >> (k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n. >> Color the squares of the grid so that half of the squares in each row >> and in each column are red and the other half are black (a checkerboard >> coloring is one possibility). Prove that for each such coloring, the >> sum of the numbers on the red squares is equal to the sum of the numbers >> on the black squares. >> >> B2. Find all pairs of real numbers (x,y) satisfying the system of > equations >> >> 1/x + 1/(2y) = (x^2 + 3 y^2) ( 3 x^2 + y^2 ) >> 1/x - 1/(2y) = 2(y^4 - x^4) >> >> B3. For any positive integer n let <n> denote the closest integer >> to sqrt(n). Evaluate >> \sum_{n=1}^{\infty} ( 2^{<n>} + 2^{-<n>} ) / 2^n >> >> B4. Let S denote the set of rational numbers different from -1, 0, and > 1. >> Define f : S --> S by f(x) = x - 1/x . Prove or disprove that >> \intersect_{n=1}^{\infty} f^(n) (S) = \emptyset, >> where f^(n) = f o f o ... o f (n times). >> >> (Note: f(S) denotes the set of all values f(s) for s \in S. ) >> >> B5. Let a and b be real numbers in the interval (0, 1/2) and >> let g be a continuous real-valued function such that >> g(g(x)) = a g(x) + b x for all real x. Prove that g(x) = c x for >> some constant c. >> >> B6. Assume that (a_n)_{n >= 1} is an increasing sequence of positive >> real numbers such that lim_{n->\infty} a_n / n = 0. Must there >> exist infinitely many positive integers n such that >> a_{n-i} + a_{n+i} < 2 a_n for i = 1, 2, ..., n-1 ? >> >