On Mon, Dec 03, 2001 at 09:57:17PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Eu já pesquisei essas duas dúvidas em vários livros e ainda não encontrei a > resposta, se alguém souber , por favor, me ajude: > 1)Em problemas de Geometria Analítica envolvendo duas ou mais circunferências > , quando queremos saber se elas se interceptam uma das soluções é fazer a > subtração das equações das duas curvas, esse resultado é o eixo radical. > Substitui-se então a equação do eixo radical em uma das equações das > circunferências e as raízes são os pontos de intersecção(quando eles > existem). Tentei generalizar esse resultado para outras cônicas que não > possuiam termo retângulo ('xy') e nunca deu certo , por quê? Qual o meu erro?
Acho que a pergunta é pq haveria de funcionar... Mas sério, para dizer algo um pouco mais interessante, as eqs de círculos têm a forma x^2 + y^2 + (termos de grau 1 ou 0) = 0. Ao subtrairmos duas eqs de círculos P_1(x,y) = 0 e P_2(x,y) = 0 os termos de grau 2 cancelam precisamente e obtemos uma equação de grau 1: R(x,y) = (P_1 - P_2)(x,y) = 0, uma reta, que passa obrigatoriamente por qq ponto de interseção dos círculos de equações P_1 e P_2. Se tomarmos, digamos, duas elipses, as equações delas são da forma Q_1(x,y) = a_1 x^2 + 2 b_1 xy + c_1 y^2 + (termos de grau 1 ou 0) = 0, Q_2(x,y) = a_2 x^2 + 2 b_2 xy + c_2 y^2 + (termos de grau 1 ou 0) = 0. Ao subtrairmos uma da outra teremos uma equação ainda de grau 2, uma equação de uma cônica que passa pelos ptos de interseção das elipses. Esta curva não *poderia* ser uma reta se as elipses se cortarem em 4 pontos (por exemplo, as elipses x^2 + 2y^2 = 3 e 2x^2 + y^2 = 3 se cortam nos 4 pontos (+-1,+-1) e não existe reta que passe por estes 4 ptos). Mas se as elipses se cortarem em apenas dois pontos existe uma reta passando por estes dois pontos; pq não podemos obter a eq da reta fazendo uma combinação linear das eqs das duas elipses? A resposta é que se complexificarmos, projetivizarmos e contarmos interseções com multiplicidades, duas cônicas sempre terão por interseção 4 pontos. Só em casos muito especiais existe uma reta passando pelos 4 pontos; o mais simples que temos passando pelos 4 ptos são pares de retas. No caso em que as partes de grau 2 das eqs das duas cônicas são iguais (como com dois círculos) dois destes pontos estão n infinito e nosso par de retas pode consistir em uma reta finita (que realmente nos interessa) e a reta no infinito. []s, N.