At 16:17 09/12/01 -0200, you wrote: >At 11:41 09/12/01 -0500, you wrote: >> Olá colegas, >> obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde >> encontro a RPM 26 ? >> Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei >> resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há >> outra resolução. >> Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para >> todo K inteiro. >> Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa >> o pequeno teorema). >> Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria >> cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? >> Obrigado pela atenção, >> Raul > >Se k é ímpar, k^5 é impar. Se k é par, k^5 é par. Logo k^5-k é par sempre. >Agora vamos mostrar que k^5-k é multiplo de 5. Divida k por 5. teremos >k=5a+b com 0<=b<=4. Então k^5-k=k(k^4-1)=(5a+b)[(5a+b)^4-1]. fazendo as >contas e testando os 5 valores possiveis para b, temos que k^5-k é >múltiplo de 5. (há várias outras maneiras de fazer isso sem usar teorema >de Fermat) > >Bruno Leite
pensei em outra maneira de resolver isto. Temos que k(k^4-1) é múltiplo de 5 se e só se k(k^4-5k^2+4) é multiplo de 5. mas k(k^4-5k^2+4)=k(k^2-1)(k^2-4)=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2), e o produto de 5 números consecutivos é múltipo de 5! Bruno Leite