Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de calcular o limite de sen(x)/x, qd x ->0. Acho que basta usar a série para sen(x) : sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - .... )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! -.... que para x ->0, vai pra 1. Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas não deixa de "não usar l`hôspital".
Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas também não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia usar relógio :)) brincadeira ! Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim... A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite f(x)/g(x) ( com x tendendo a "a" ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite é igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x ->a . Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] = lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim [(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x). É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos dividir por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a, logo x-a é diferente de zero. JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90% das pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a demonstração da regra acima... isso não deveria ser assim... mas... Abraços, Villard -----Mensagem original----- De: Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33 Assunto: Re: limites >cotg ^(1/log) eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x). >Quando x->0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos >a -infinito. >vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh >(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x -> 1. >Logo o limite eh: 1/e >(se nao houver erro de conta) > >Quanto ao segundo, uma variante, para variar: >a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1. >Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h-> 0. >Substituindo h por 2x (por que vale?): >e^(2x)-1 / 2x tende a 1. >Logo e^(2x)-1 / x tende a 2. > >[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos: >1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de >derivada. exemplo: >sen x / x quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas como >voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x tende >a 1? alguem conhece um jeito? >2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que algum >dia demonstrei. >Ih, ja sei que vai dar polemica...] > >JP > > > >----- Original Message ----- >From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM >Subject: Re: limites > > >confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana >e quanto à primeira vcs encontraram algo? > >----- Original Message ----- >From: "Vinicius José Fortuna" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM >Subject: Re: limites > > >On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: > >> qual o limite das seguintes funções? >> >> lim (cotgx)^(1/lnx) >> x-> 0 >> >> >> lim (e^2x -1)/x >> x->0 > >Essa eu acho que sei: > >lim{x->0} (e^2x - 1)/x = >lim{x->0} (e^2x)/x - 1/x = >lim{x->0} (e^2x)/x >Por L'Hopital (é assim que se escreve?) >= lim{x->0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) = >= 2 > >Confere? > >Até mais > >Vinciius > > > > > >