RA DA RU Eu entendi que "mudando 9 vezes no entre os 3" quisesse dizer que dentro daquele grupo teve 9 mudancas (poderia ser so do 1º com o 2º). Entao, com essa condicao, vamos fazer RA-DA, DA-RA, RA-DA, ..., DA-RA E, DEPOIS, as 8 vezes entre os 2 ultimos: RA-RU, RU-RA, RA-RU, ..., RA-RU
Entao seria o resultado final DA-RA-RU, respectivamente. Ou muda-se os 2 primeiros 1 vez, que fica DA-RA Depois os 2 ultimos 8 vezes, que da RA-RU E depois os 2 primeiros 8 vezes, que resulta em RA-DA Entao seria RA-DA-RU Eu vi 3 respostas praquela questao da mola de fisica, que inicialmente esta comprimida de 2cm, etc. Um lugar disse que era 0,35s; outro, 0,5s; outro, 0,25s. Quanto voces acharam? niski wrote: > Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual é a > resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, já que sei > que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica. > > O Curso Anglo dá como gabarito a letra A > Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) dão como > gabarito a letra E. > > Irei transcrever o problema ,a solução do Anglo e a solucao do ETAPA. > Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho está correto > > ENUNCIADO: > O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida > beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos > após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e > Rubinho, nesta ordem. Daí > em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em > nenhum momento da corrida, estiveram > lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, > mudou de mãos nove vezes entre os > três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam > na segunda e terceira posições > trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou > para nossos repórteres que > David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da > bandeirada de chegada. Desse > modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da > corrida. > Com base no trecho acima, você conclui que > A) David ganhou a corrida. > B) Ralf ganhou a corrida. > C) Rubinho chegou em terceiro lugar. > D) Ralf chegou em segundo lugar. > E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não > apresenta uma descrição matema-ticamente > correta. > > RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A: > Para que Ralf ganhe a corrida, é necessário que ele participe de um > número par de trocas de liderança, > algumas com David e outras com Rubinho. > Como o número de trocas de liderança é nove, devemos ter um número ímpar > de trocas de liderança > sem a participação de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho. > Sabemos, do enunciado, que Rubinho começa e termina a corrida atrás de > David. Assim, o número total > de trocas de posição entre eles é necessariamente par. > Como é ímpar o número de trocas entre David e Rubinho na liderança, deve > também ser ímpar o nú-mero > de trocas entre eles na segunda e terceira posições. > Sabemos, também do enunciado, que o número de trocas entre o segundo e o > terceiro colocados é oito e, > portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de um número ímpar > delas. > Como Ralf começa a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a > liderança antes de participar de uma > de suas trocas entre a segunda e a terceira posição. Trocas essas que > ele inicia como segundo colocado. > Sendo ímpar o número de trocas entre a segunda e a terceira posição, com > a participação de Ralf, ao > final dessas trocas ele estará na terceira posição, não podendo, assim, > reassumir a liderança. > Portanto não é possível que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado > afirma que Rubinho terminou a > corrida atrás de David, podemos concluir que David ganhou a corrida. > > ETAPA - LETRA E: > Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho > por 3. Em cada momento da corrida, a > classifica-ção é uma terna ordenada desses três números > ou está ocorrendo uma inversão (troca de > posi-ções entre dois ciclistas). > Como a liderança mudou de mãos 9 vezes, e em > mais 8 ocasiões aqueles que corriam na segunda > e terceira posições trocaram de lugar entre si, > houve no total 17 inversões. > Temos que, após um número ímpar de inversões, > podemos obter somente as classificações (2; 1; 3), > (1; 3; 2) e (3; 2; 1). > Rubinho chegou logo atrás de David, portanto a > classificação final é (1; 2; 3) ou (2; 3; 1). > Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um > nú-mero ímpar de inversões. > Conseqüentemente, não é possível determinar a > ordem de chegada, porque o trecho não > apresen-ta uma descrição matematicamente correta. > > POLIEDRO: RESPOSTA E: > > Como Rubinho deve terminar a corrida logo atrás de David, podemos ter > duas > possibilidades para o resultado da corrida: > 1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A) > ou > 1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B) > A primeira possibilidade é a mesma do início da corrida. Para que Ralf > termine em > primeiro lugar, ele deve trocar de posição um número par de vezes. > Para David e Rubinho também terminarem na mesma posição em que estavam, > devem > trocar de lugar um número par de vezes. Assim, essa possibilidade não > pode ocorrer. > Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes > chegarem à > posição final, eles poderiam ter estado nas seguintes configurações: > 1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C) > ou > 1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D) > Na opção (C), já realizamos uma troca entre o segundo e terceiro > lugares, restando 9 > trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho começou em > último lugar e deve > continuar ali, devendo passar por um número par de trocas. Porém, > devemos realizar 7 > trocas de 2 o e 3 o lugar, não sendo possível que Rubinho ali permaneça. > Falta a opção (D). Da posição inicial até a (D), devemos passar pelas > seguintes > configurações: > 1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posição inicial) > 1 troca > 1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho > 1 troca > 1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf > 1 troca > 1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E) > Restam, então, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o > lugares. Porém, (E) é > igual a (D), e devemos ter um número par de trocas até o final (mesmo > raciocínio do > primeiro caso). > Assim, não há posição final válida com as condições indicadas. > > Obrigado pessoal! > -- > "Now I will have less distraction." > [upon losing the use of his right eye] > Leonhard Euler