Cardinalidade alef 0 é a cardinalidade dos conjuntos enumeráveis (isto é, que têm bijeção com os naturais). É a menor cardinalidade que existe para conjuntos infinitos.
A próxima cardinalidade infinita, imediatamente após alef 0, é o alef 1. Depois vem o alef 2, o alef 3 e assim por diante. Depois de tudo isso vem o alef w (leia-se: alef omega), onde w, em teoria dos conjuntos, é o conjunto dos naturais, que também é o número ordinal que vem depois de todos os naturais (representa o infinito, que é maior que todos os naturais). Depois vem alef w+1, onde w+1 é o ordinal que vem imediatamente após w, depois temos w+2, w+3,..., w+w=2w, 2w+1,..., 3w,...,4w,...,ww=w^2,...,w^w,..., etc. Para estudar os números cardinais, é necessário, primeiro, estudar os cardinais. De modo geral, os ordinais generalizam a idéia da contagem. Todos os conjuntos bem ordenados (i.e., conjuntos em que todos os seus subconjuntos possuem um menor elemento) são isomorfos a algum ordinal (há uma bijeção que preserva a ordem). A cardinalidade c é a cardinalidade dos reais. A hipótese do contínuo afirma que não há conjunto infinito cuja cardinalidade é maior que alef 0 e menor que c, isto é c=alef 1. Mas a hipótese do contínuo é independente do ZFC, não podemos demonstrar que é verdadeiro nem falso. Quanto o que vc falou do conjunto das partes, a hipótese do contínuo generalizada diz exatamente o que vc imaginou: alef n+1 é a cardinalidade do conjunto das partes de um conjunto de cardinalidade alef n (observe que existe uma bijeção entre os reais e as partes dos naturais). Mas isso não pode ser provado, é independente do ZFC. Pode ser que o conjunto das partes dos naturais tenha uma cardinalidade muito maior que alef 1. Existe uma teoria muito interessante sobre os grandes cardinais (eu não a conheço). A existência de grandes cardinais também é independente do ZFC. O Halmos tem um capítulo bem explicativo sobre números ordinais (devem ser estudados antes dos cardinais), mas relaciona pouco lógica com teoria dos conjuntos (fala pouco da independência da hipótese do contínuo, os grandes cardinais, etc). Para isso, você precisa consultar um livro mais avançado de lógica e teoria dos conjuntos. Acho que o livro indicado pelo Paulo (O teorema de Godel e a hipotese do continuo) seja ideal. Para suas dúvidas iniciais, que envolve só teoria dos conjuntos, recomendo o Halmos, para um primeiro estudo (obs.: tem tradução, "Teoria ingênua dos conjuntos", mas parece que a edição mais antiga tem uma tradução melhor). Rogério >From: Carlos Maçaranduba <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Mais Cardinalidade >Date: Mon, 21 Jan 2002 12:33:36 -0300 (ART) > >estou lendo algo sobre isso..gostaria de alguns >esclarecimentos ....Quais são os conjuntos de >cardinalidade alef zero??e alef mais c???Quer dizer >que temos 3 conjuntos infinitos com cardinalidades >diferentes (c , alef e alef mais c)??? > >No livro que eu estou olhando ele prova que a >cardinalidade do conjunto das partes de um conjunto x >é maior que a cardinalidade do conjunto x.Entao se eu >conseguir uma função bijetora entre um conjunto y e o >conjunto das partes de x é a mesma coisa que dizer que >a cardinalidade de y é maior que a de x???è assim que >ele chega a alef???Qual o conjunto que originou o >conjunto das partes no qual é o contradominio da >função bijetora no qual tem os irracionais como >dominio???entendeu onde quero chegar??pode ser que eu >entendi errado é que o livro é em ingles e a notação é >muito complicada....fico grato por quem puder >esclarecer sobre isso.... > > > > > --- "Nicolau C. Saldanha" ><[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Thu, >Dec 27, 2001 at 02:07:52PM -0200, Vinicius > > José Fortuna wrote: > > > Ué, eu sempre entendi que a cardinalidade de um > > conjunto fosse o número de > > > elemento do mesmo. > > > > > > Se dois conjuntos possuem infinitos elementos, eu > > achava que a > > > cardinalidade fosse a mesma. Alguém tem um > > conceito mais preciso de > > > cardinalidade? > > > > Cantor. :-) > > > > Cantor começou uma revolução na matemática ao > > descobrir que uns infinitos > > são maiores do que outros. Dois conjuntos A e B têm > > o mesmo cardinal > > (segundo Cantor) se existir uma bijeção entre A e B. > > O cardinal de A > > é menor do que o de B se existir uma função injetora > > de A para B mas > > não existir uma bijeção. Cantor demostrou que > > > > |N| = |Z| = |Q| = |A| < |R| = |C| > > > > onde estes são os conjuntos de números naturais, > > inteiros, racionais, > > algébricos, reais e complexos. Em particular, isto > > demonstrava a > > existência de números transcendentes (não > > algébricos), novidade na época. > > > > Tudo isto está em Naïve Set Theory de Halmos (e em > > um milhão de outros > > lugares). > > > > []s, N. > >_______________________________________________________________________________________________ >Yahoo! GeoCities >Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! >GeoCities. 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