Oi.
Vários professores já disponibilizaram notas de aulas ministradas durante a semana
olímpica. Eles são pessoas dedicadas, organizadas e que tiveram o trabalho e a
paciência de compilar suas aulas e torná-las acessíveis ao maior número possível de
interessados. Eu, por outro lado, sou uma pessoa desorganizada, desleixada e
preguiçosa e, além disso, ocupada, assim ainda não escrevi nada e acho que não terei
tempo para isso nos próximos, digamos, cinco anos. Para não deixar na mão aqueles que
gostariam de estudar o assunto sobre o qual falei (inteiros algébricos), estou
enviando uma lista de referências.
Nível III
Não conheço uma fonte adequada para este nível sobre inteiros de Gauss e Eisenstein
(Z[i] e Z[w], w^2 + w + 1 = 0). Aguarde um futuro artigo da Eureka. Sobre o critério
de Lucas-Lehmer, veja as excelentes notas do Gugu e Nicolau---Primos de Mersenne (e
outros primos muito grandes)---disponíveis nas páginas de ambos
http://www.impa.br/~gugu
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html
A seguinte referência, Quadratische Zahlkörper, do Franz Lemmermeyer, trata da
aritmética em corpos quadráticos em geral. As seções iniciais cobrem exatamente o
assunto da minha aula e são uma excelente fonte.
http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/16
Elas estão em alemão. Se você não fala alemão, não tem problema! Basta saber ler
alemão, que é bem mais simples do que falar. Se você não sabe ler, bem... Se alguém
da lista lê alemão e se disponibilizar a traduzir alguns trechos, seria legal... Em
todo caso, o seguinte vocabulário pode ajudar, embora as palavras estejam sem tremas:
http://www.math.princeton.edu/graduate/generals/germanwords.html
Por fim, queria recomendar o gnu pari, uma calculadora especializada em teoria dos
números (ela trabalha com inteiros de Gauss e Eisenstein e muito mais, além de ter um
monte de funções interessantes mesmo para quem só está interessado em teoria elementar
dos números: fatoração em primos, resolução de Pell, Bezout, sistemas de congruências,
função phi de Euler, entre outros). Ela foi feita para profissonais, então há várias
funções que só interessam a especialistas, mas você pode ignorá-las.
ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/
Usando o pari, você pode, por exemplo, verificar que e elevado a pi vezes a raiz
quadrada de 163 é
e^(pi*sqrt(163)) = 262537412640768743.9999999996...,
quase um inteiro. Coincidência? Não. De fato, utilizando a função j de Klein
(ellj(x) no pari),
j((1+sqrt(163))/2) = -262537412640768000
é um inteiro! Notam alguma semelhança? Pois é, conheço uma demonstração maravilhosa
para este fato. Infelizmente a margem deste e-mail é muito curta para contê-la... De
fato, esta explicação requer um livro inteiro e é cheia de pré-requisitos (que podem
ser estudados em tempo finito, entretanto) e baseia-se na teoria de formas modulares e
na teoria de corpos de classe. Em suma, por enquanto aquela expressão ali em cima é
uma curiosidade apenas.
Nível U
Para este nível, há bem mais material, de dificuldade e profundidade variadas. A
melhor introdução, na minha opinião, é o livro do Ian Steward e David Tall, Algebraic
Number Theory:
http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/1568811195/ref=pd_bxgy_text_1/102-1446712-5248159
Este livro aborda vários outros temas importantes dos quais não falei, como o número
de classe e o teorema das unidades de Dirichlet. Equivalentes na web são os seguintes
cursos do Robin Chapman, do J. Milne:
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/ant.pdf
http://www.jmilne.org/math/
As notas do Chapman são bem detalhadas. As do Milne são bem completas. Na página do
Milne, você encontrará outras referências sobre tópicos relacionados, bem como alguns
pré-requisitos para ler mais sobre o assunto (teoria de grupos e teoria de Galois,
entre outros).
Na linha do curso do Lemmermeyer, abordando corpos quadráticos apenas, o Robin Chapman
escreveu algumas notas de aula (as do Lemmermeyer são melhores):
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
Pode ser uma boa começar por estas notas, pois elas são curtinhas e dão uma boa idéia
de toda a teoria, já que é possível fazer várias contas na "mão" neste caso
(infelizmente as provas apresentadas não se generalizam facilmente).
Se você gostou do assunto e quiser estudá-lo para valer, recomendo ler (após o
Steward, Tall) o excelente livro do Borevich e Shafarevich, Number Theory (eu disse
excelente, não criativo). Lá você encontra uma introdução bem simples a inteiros
p-ádicos, e métodos analíticos importantes e que não são cobertos pelos livros e
cursos anteriores, como a função zeta de Dedekind (que é parente próximo da função
zeta de Riemann).
Bem, acho que isto é material suficiente para mantê-los ocupados até que eu escreva
algo. Se precisarem de mais, é só pedir!
Até,
ET
--
_______________________________________________
Come to http://www.sailormoon.com the sailormoon friends & fan community where you get
chat, e-mail and can even build your own homepages!
Powered by Outblaze
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=========================================================================
