Excelente. Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para transferir o problema do produto de senos para a soma de senos. Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial? Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico" Mas valeu a elegancia da sua demonstracao. JP
----- Original Message ----- From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8 utilizando as desigualdades das médias e de Jensen. Só relembrando as duas desigualdades: A desigualdade das médias é a seguinte: dados n números reais não negativos, sua média aritmética é maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e somente se, todos os n números são iguais. A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma função com convexidade para baixo num intervalo. Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a média aritmética das f's dos números é menor ou igual à f da média aritmética dos números. A função seno tem concavidade para baixo no intervalo [0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo: sen a sen b sen c <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3 <= [sen((a+b+c)/3)]^3 = [sen((pi/2)/3)]^3 = 1/8 Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo para mostrar que a função sen tem concavidade para baixo. Existe uma solução totalmente elementar que prova que sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2 para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro direito a identidade. []'s Shine --- Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > 1) Usando as formulas de transformacao de soma em produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a: 4 sen 2a sen 2b sen 2c, > enquanto o lado direito eh igual a: 4 cos a cos b cos c. Verifique se confere. > 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a, etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) = sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com a+b+c=pi/2). > Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de Lagrange mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c) com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8. > JP > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Send FREE Valentine eCards with Yahoo! Greetings! http://greetings.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================