At 19:14 12/02/02 -0300, you wrote: >Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo?
Oi David, A definição de convexidade NAO depede de calculo. definimos que f é convexa em um intervalo I se para todo 0<=k<=1 e s<t em I, f(ks+(1-k)t)<=kf(s)+(1-k)f(t). Isso é, a reta que liga (s,f(s)) a (t,f(t)) passa por cima do grafico de f entre s e t. Mas, se f for diferenciavel, entao f é convexa se e só se df/dx for crescente...(aqui entra o calculo, mas nao na definição...) Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite >-----Mensagem original----- >De: Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> >Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Terça-feira, 12 de Fevereiro de 2002 08:46 >Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. > > > >Excelente. > >Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para > >transferir o problema do produto de senos para a soma de senos. > >Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe > >a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial? > >Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico" > >Mas valeu a elegancia da sua demonstracao. > >JP > > > > > >----- Original Message ----- > >From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM > >Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. > > > > > >Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8 > >utilizando as desigualdades das médias e de Jensen. > > > >Só relembrando as duas desigualdades: > > > >A desigualdade das médias é a seguinte: dados n > >números reais não negativos, sua média aritmética é > >maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e > >somente se, todos os n números são iguais. > > > >A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma > >função com convexidade para baixo num intervalo. > >Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a > >média aritmética das f's dos números é menor ou igual > >à f da média aritmética dos números. > > > >A função seno tem concavidade para baixo no intervalo > >[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo: > > sen a sen b sen c > > <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3 > > <= [sen((a+b+c)/3)]^3 > > = [sen((pi/2)/3)]^3 > > = 1/8 > > > >Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo > >para mostrar que a função sen tem concavidade para > >baixo. Existe uma solução totalmente elementar que > >prova que > > sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2 > >para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro > >direito a identidade. > > > >[]'s > >Shine > > > > > >--- Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em > >produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a: > > 4 sen 2a sen 2b sen 2c, > >> enquanto o lado direito eh igual a: > > 4 cos a cos b cos c. Verifique se confere. > >> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a, > >etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) = > >sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com > >a+b+c=pi/2). > > > >> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se > >puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de > >Lagrange mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c) > >com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8. > >> JP > >> > > > > > > > >__________________________________________________ > >Do You Yahoo!? > >Send FREE Valentine eCards with Yahoo! Greetings! > >http://greetings.yahoo.com > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================