On Sun, Feb 24, 2002 at 02:03:37AM -0300, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: > Olá colegas da lista, venho mais uma vez tentar esclarecer algumas dúvidas: > > 1) Achei na Internet uma "demonstração elementar" do teorema fundamental da > algébra, q usa cálculo. O problemas é q ela cita tb coisas como anéis, > corpos... (o pouco q eu sei sobre isso é q têm a ver com a teoria dos grupos > de Galois, ou não), como já vi vários comentários sobre isso e esse parece > ser um assunto importantissimo quero estudar algo e gostaria de referências > de livros para um iniciante... Eu estava dando uma olhada no arquivo > da lista e encontrei uma mensagem dizendo q Gauss chegou a dar 3 provas do > teorema fundamental da algébra mas q todas tinham considerações geoméricas e > q ele queria obter uma q fosse livre dessas consideraçoes, o q sao essas > consideraçoes geometricas q ele utilizou? alguém poderia mostrar mais ou > menos o ponto de partida das demontraçoes de gauss?
Deve ser uma das demonstrações de Gauss, a que inclui o mínimo de não-álgebra. Antes de mais nada é preciso deixar claro que é absurdo esperar uma demonstração do TVA que não use *alguma* propriedade não-algébrica de R (como o axioma do supremo) pois o enunciado é *falso* se trocamos R e C por Q e Q[i]. As demosntrações mais populares usam muita topologia ou análise complexa e pouca álgebra. A demonstração que você deve ter em mente divide-se nas seguintes etapas: Lema 1: Todo real positivo tem raiz quadrada. Lema 2: Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. Acho que todos concordamos que estes lemas não são difíceis... Teorema: Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades: (a) Todo elemento positivo tem raiz quadrada; (b) Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes em K admite pelo menos uma raiz em K; Então K[i] é algebricamente fechado, isto é, todo polinômio P(X) de grau n com coeficientes em K[i] pode ser escrito de forma única como P(X) = (X - a1)(X - a2)...(X - an) onde a1, a2, ..., an são elementos de K[i] (as raízes de P). A demonstração deste teorema usa um pouco de álgebra mas não é difícil. Aliás não usa nada de teoria de Galois, isto é outra parte de teoria de corpos. > 2) 0,999...=1, essa é uma afirmação q ainda causa certa polêmica entre meus > colegas aqui por onde moro. Recentemente um desses colegas perguntou ao seu > professor de Cálculo se essa afirmação é verdadeira e ele a negou e disse q > se isso fosse verdade se jogava do prédio onde dá aulas. Foi a maior polemica > na aula. Esse colega pediu-me q renisse algo sobre tal afirmaçao para q ele > levasse ao tal professor. Acabei de enviar para esse meu colega tudo q pude > encontrar na lista sobre o assunto, (e-mails do nicolau, ralph e etc.) > juntamente com o endereço da lista, para ele entregar ao tal professor e esse > entaum tirar suas proprias conclusoes... Eu nao quero retomar esse assunto > aqui na lista uma vez q ele já foi muito discutido, o q eu queria era pedir > informação sobre q área da matematica devo estudar para poder compreender > melhor isso e referencias de livros Espero que o prédio seja baixo. ;-) > 3) qual é a equaçao do lugar geometrico dos pontos cujo produto das > distancias a dois outros pontos é uma constante?(como na elipse só q ao inves > de se somar se multiplica, se naum fui claro...). Achei uma equação enorme > pra se escrever aki... alguém sabe algum programa q eu possa usar para > escrever equaçoes e obter graficos... de preferencia gratis (tentei usar > algumas simulçaoes em java na internet mas as q achei só escrevem > funçoes...)? É uma curva algébrica de grau 4. Não sei se tem nome na forma geral que você sugere mas se a distância entre os pontos dados (focos?) for 2d e o produto prescrito for d^2 então a curva se chama uma lemniscata e parece um 8. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================