On Sat, Mar 09, 2002 at 02:27:08AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote: > > > Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de > 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível, > mas não lembro como provar... Alguém se habilita?
A prova exige um pouco de álgebra. Chamamos um número complexo z de *construtível* se existirem corpos K_0 = Q < K_1 < ... < K_n (onde o sinal < significa 'é subcorpo de', imagine o sinal usual de 'é subconjunto de', aquele U deitado) tais que z pertence a K_n e K_{j+1} = K_j (w) para algum w com w^2 pertencente a K_j. A notação K(x) significa 'o menor corpo contendo K U {x}'. Identifique o plano com C, o conjunto dos complexos. Não é difícil verificar que se começamos com pontos construtíveis então qualquer construção com régua e compasso nos dá ainda pontos construtíveis. Falta portanto provar que z = cos(1) + i sen(1) não é construtível. Se fosse, w = z^40 = cos(40) + i sen(40) também seria. Mas o grau de Q(w) sobre Q é 6 e portanto o grau de qualquer corpo K com w elemento de K é múltiplo de 3. Por outro lado, os graus dos corpos K_n (na definição de número construtível) são potências de 2. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================