Para manter essa lista continua, vamos a uma solucao usando numeros complexos e Cauchy... (eu achei q tivesse mandado uma msg antes pra lista sobre essa integral, mas acho q mandei errado.. de qq jeito, era uma solucao errada q eu achei q estava certa...).
Considere a curva C formada pela metade superior de uma circunferencia de raio R>1 e centro na origem mais o seu diametro no eixo real. O que vc pede eh a parte real de I = Int_em_C [exp(rix) / (1+x^2) ]. Pela formula integral de Cauchy, notando que 1/(1+x^2) = [1/(x-i) - 1/(x+i)]/2i I = 2Pi*i*exp(r*i*i*)/2i = Pi*exp(-r) Por outro lado, essa integral pode ser separada em duas: I = Int_-R a R_ [cos(rx)/(1+x^2)] + Int_z=Rexp(it), t=0..Pi_[e^(rix)/(1+x^2)] A primeira integral (o seno some pq eh funcao impar) vale duas vezes a integral que vc deseja calcular (fazendo R-> oo). Qto a segunda, nao eh dificil mostrar que ela tende a zero. De fato, o integrando tem modulo menor que 1/(1+Rexp(it)) Mas |1+Rexp(it)| > | |R|-1 | = R - 1 donde 1/(1+Rexp(it)) < 1/(R-1), e a integral vale Pi/(R-1), que tende a zero quando R cresce. Juntando tudo, vc conclui que int(cos(rx)/(1+x^2))dx de 0 a infinito = [Pi*exp(-r)] / 2 Se eu conseguir uma solucao mais simples, sem usar complexos, mando depois (ou espero alguem mandar, pois eu ja tentei e nao estava conseguindo).. Mas essa solucao eh legal pq pode ser adaptada em diversas outras integrais improprias reais... Abracos, Marcio ----- Original Message ----- From: "Caio Augusto" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, March 24, 2002 1:42 AM Subject: [obm-l] integral impropria > Ola, > > Gostaria de ter ajuda na resolução da seguinte integral imprópria: > > int(cos(rx)/(1+x^2))dx de 0 a infinito > > Lendo fica assim: Integral de zero a infinito de cosseno de (r vezes x) > dividido por um mais x ao quadrado em relação a x. > > Obrigado, > Caio Augusto > [EMAIL PROTECTED] > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================