On Fri, Apr 05, 2002 at 03:49:18PM +0000, Paulo Santa Rita wrote: > Ola Pessoal ! > > Numa Mensagem anterior fiz referencia a o TRIANGULO HARMONICO. > Surpreendentemente algumas pessoas me contactaram solicitando mais > informacoes sobre este TRIANGULO ARITMETICO. Com esta mensagem tento > responder a todos. > > > O TRIANGULO HARMONICO comeca com a SERIE HARMONICA na vertical ( que e a > PRIMEIRA COLUNA do triangulo ), iniciando assim : > > 1 > 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5 > 1/6 > 1/7 > 1/8 > ... > > Para montar a segunda coluna iniciamos na segunda linha. Cadas termo da > segunda coluna e igual a diferenca entre dois outros da primeira coluna : o > que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim : > > 1 - 1/2=1/2; 1/2 - 1/3=1/6; 1/3 - 1/4=1/12; 1/4 - 1/5=1/20; > 1/5 - 1/6=1/30; 1/6 - 1/7=1/42; 1/7 - 1/8=1/56. > > 1 > 1/2 1/2 > 1/3 1/6 > 1/4 1/12 > 1/5 1/20 > 1/6 1/30 > 1/7 1/42 > 1/8 1/56 > ... ... > > Para montar a terceira coluna iniciamos na terceira linha. Cadas termo da > terceira coluna e igual a diferenca entre dois outros da segunda coluna : o > que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim : > > 1/2 - 1/6=1/3; 1/6 - 1/12=1/4; 1/12 - 1/20=1/30; 1/20 - 1/30=1/60 > 1/30 - 1/42=1/105; 1/42 - 1/56=1/126 > > 1 > 1/2 1/2 > 1/3 1/6 1/3 > 1/4 1/12 1/12 > 1/5 1/20 1/30 > 1/6 1/30 1/60 > 1/7 1/42 1/105 > 1/8 1/56 1/126 > ... ... ... > > Bom. Agora e facil construir o triangulo. A i-esima coluna inicia na > i-esima linha e cada termo e igual a diferenca entre dois outros da > (i-1)-esima coluna : o que esta a esquerda e o que fica acima deste.
Se chamarmos a entrada na linha i, coluna j de h(i,j), sendo h(0,0) = 1, h(1,0) = h(1,1) = 1/2, h(2,0) = 1/3, ... temos h(n,0) = 1/(n+1) e h(n,m) = h(n+1,m) + h(n+1,m+1). Note a semelhança entre esta última fórmula e a dos números binomiais. Não é difícil mostrar que temos h(i,j) = 1/((i+1) binom(i,j)). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================