Houve precipitação e falta de atenção de minha parte. Quando a pergunta original foi lançada neste forum, eu pensei que estava-se falando de casos particulares do Problema de Waring, que é a representação de um número inteiro positivo como a soma de potências k de números inteiros NÃO NEGATIVOS.
Waring disse (Meditationes Algebricae (1770), 204-5) - sem provar - que qualquer número inteiro positivo é a soma de 4 quadrados, 9 cubos, 19 biquadrados "e assim por diante". Lagrange demonstrou, também em 1770, que no caso de k=2 são necessárias quatro parcelas, e o Teorema dos 4 Quadrados ganhou seu nome. Para maiores detalhes, inclusive três provas do Teorema de Lagrange - mas nenhuma do caso de k=3 - ver os capítulos XX e XXI do livro An Introduction to the Theory of Numbers (Hardy,GH & Wright,EM) que, segundo o moderador deste forum, "pode ser encontrado em qualquer biblioteca de matemática que mereça esse nome" (non-verbatim). JF -----Mensagem Original----- De: marcelo oliveira <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Sábado, 13 de Abril de 2002 11:28 Assunto: Re: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos > Fácil: > 23 = 5^3 + (- 4)^3 + (- 4)^3 + 3^3 + (- 1)^3 > 239 = 41^3 + (- 40)^3 + (- 40)^3 + 39^3 + (- 1)^3 > > Acredito que você esteja enganado, este teorema dos 5 cubos está demonstrado > como eu fiz abaixo em pelo menos 3 livros de olimpíada de matemática que eu > possuo. Um deles inclusive é vendido (ou foi?) pela Secretaria da OBM, que é > o livro: > " Problemas de las Olimpíadas Matemáticas del Cono Sur (1a. a 4a.)" > Eduardo Wagner, Carlos Gustavo T. de A. Moreira, P.Fauring, A. Wykowski, F. > Gutierrez, J.C. Pedraza. > Red Olímpica - Argentina > > Leia com mais calma minha demonstração que certamente você vai se convercer > que todo inteiro pode ser expresso como a soma de 5 cubos. > > Até mais, > Marcelo Rufino de Oliveira > > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos > >Date: Fri, 12 Apr 2002 20:15:40 -0300 > > > >Tente representar 23 ou 239 como a soma de menos de 9 cubos. > > > >JF > > > >-----Mensagem Original----- > >De: marcelo oliveira <[EMAIL PROTECTED]> > >Para: <[EMAIL PROTECTED]> > >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 20:08 > >Assunto: Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos > > > > > > > Já que ninguém se abilitou, aí vai: > > > > > > Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos. > > > > > > Demonstração: > > > > > > Observa-se que > > > (k + 1)^3 - 2k^3 + (k - 1)^3 = > > > = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = 6k. > > > Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de 4 > > > cubos. > > > Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas: > > > i) n = 6q = 6x + 0^3 > > > ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3 > > > iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3 > > > iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3 > > > v) n = 6q + 4 = 6(x - 2) + 4 = 6x - 8 = 6x + (- 2)^3 > > > vi) n = 6q + 5 = 6(x - 1) + 5 = 6x - 1 = 6x + (- 1)^3 > > > Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma: n = 6k + j^3, > >onde > > > j = - 2 ou - 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3. > > > Sendo 6k = n - j^3 => > > > (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = n - j^3 => > > > n = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 + j^3 > > > > > > > > > > > > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> > > > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > > > >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> > > > >Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos > > > >Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300 > > > > > > > >Teorema dos cinco cubos: > > > > > > > >Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos. > > > > > > > >JF > > > > > > > >-----Mensagem Original----- > > > >De: Bruno F. C. Leite <[EMAIL PROTECTED]> > > > >Para: <[EMAIL PROTECTED]> > > > >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34 > > > >Assunto: [obm-l] Re: > > > > > > > > > > > > > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a > >soma > >de > > > > > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? > > > > > > > > > > Que teorema dos 5 cubos é esse? > > > > > > > > > > Bruno Leite > > > > > http://www.ime.usp.br/~brleite > > > > > > > > > > > > > > > > > > >========================================================================= > > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > > > > >========================================================================= > > > > > > > > > _________________________________________________________________ > > > MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: > > > http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > > > > > > > >========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > > > >========================================================================= > > > > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > _________________________________________________________________ > Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================