On Mon, Apr 15, 2002 at 03:19:42PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Agora o Saldanha nao tem desculpa!!!!!!!!!!!! > 01)Para o JP:Se a>b>c>d>0 sao naturais com ac+bd=(b+d-a+c)(b+d-a+c)prove > que ab+cd nao e primo.E que o bendito Tengan nao completou a resposta(ele > usou os inteiros de Eisenstein para provar que ab+cd nao era > "primo de Eisentein".Mas dai ele parou.E agora?
Fato: O anel Z[w] é euclideano, onde w = exp(2 Pi i/3). Os inversíveis em Z[w] são +-1, +-w, +-(1+w). Os primos em Z[w] são: 2 + w (de módulo sqrt(3)) p (um primo inteiro, >1) da forma 3k+2 (de módulo p) pares z, z' = conjugado(z), onde zz' = p um primo da forma 3k+1 (de módulo sqrt(p)) Estes fatos eu não vou demonstrar. Vamos ao problema. Reescreva ac + bd = (b+d-a+c)(b+d+a-c) ac + bd = b^2 + 2bd + d^2 - a^2 + 2ac - c^2 a^2 - ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Donde |a + cw| = |b - dw| A condição a>c>0 garante que o argumento de a+cw entá entre 0 e Pi/3 (estritamente), a condição b>d>0 garante que o argumento de b-dw está entre -Pi/6 e 0 (estritamente). Não podemos ter a+cw = conjugado(b-dw) pois isto implicaria c=d; também não podemos ter a+cw = (1+w)(b-dw) pois isto implicaria b=c. Assim nas fatorações de a+cw e b-dw há primos comuns e não comuns (conjugados). Assim, a+cw = rst b-dw = r'st' onde r e r' são inversíveis, t e t' são um o conjugado do outro e |s|, |t| > 1. Assim (a+cw)(b-dw) = (ab+cd) + (-ad+bc+cd)w = rr's^2 (tt') donde ab+cd é múltiplo de tt'. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================