outro dia estava pensando sob re esse tipo de questão(a^x=x^a) e eu descobri um jeito de descobrir o número de soluções positivas, se ajudar a clarear :
a^x = x^a e^(x*lna) = e^(a*lnx) x*lna = a*lnx lnx/x = lna/a e^(lnx/x) = e^(lna/a) x^(1/x) = a^(1/a) como a^(1/a) é uma função constante o problema se resume a descobrir o número de vezes que seu gráfico corta o de x^(1/x). para esboçar o gráfico de x^(1/x)=f(x) : lim f(x) = 1 x->+inf lim f(x) = 0 x->0 f ' (x) = x ^((1-2x)/x) * (1-lnx) quando f ' (x) = 0 ou não exixtir, provavelmente haverá um ponto de máximo, ou de mínimo: f '( x) = x ^((1-2x)/x) * (1-lnx) = 0, se um dos dois fatores for 0 ou não existir x^((1-2x)/x) = 0 , esse fator não pode ser zero mas não existe para x=0 1-lnx = 1 1 = lnx e^1 = e^lnx x = e, esse fator não existe quando lnx não existir, ou seja quando x<=0 sabendo que o ponto x=e o gráfico de f(x) é máximo seria começando do zero subindo até o máximo em (e;e^(1/e)) e depois tendendo à 1. (Fazendo o gráfico no excel, vê-se que é assim). para ver as soluções positivas: se a^(1/a) < 1 => 1 solução positiva menor que 1 se 1 < a^(1/a) < e^(1/e) => 2 soluções positivas se a^(1/a) = e^(1/a) => 1 solução positiva igual a e se a^(1/a) = 1 => 1 solução positiva igual a 1 no caso de x^2 = 2^x 2^(1/2) = 1,414213562373... 1 < 1,414213562373... < 1,44466786100977... logo há duas soluções positivas, uma entre 0 e e (x=2) e outra entre e e +inf (x=4) agora eu não sei fazer o gráfico do lado negativo, pois ele não é contínuo f(x) = x^(1/x) f(x) < 0 se: 1) x<0, logo f(x) = 1 / (x^(1/|x|)), logo: 2) x deve ser ímpar, ou uma fração irredutível de denominador ímpar ----- Original Message ----- From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, April 19, 2002 11:46 AM Subject: Re: [obm-l] Re: > Desenhando com cuidado, vemos que existem 3 soluções. Da outra vez que este > problema passou na lista, acharam a raiz negativa por métodos numéricos. > > Bruno Leite > http://www.ime.usp.br/~brleite > > > At 13:47 19/04/02 +0000, you wrote: > > > Já vi esta questão antes e são 3 soluções reais; 2 e 4 são fáceis de > > serem vistas, mas existe uma terceira...alguém consegue achar?? > > []´s > >Fê > > > > > > > > > >> Essa eu já vi diversas similares mas até hoje não aprendi a fazer esse > >>tipo de questão... Mas, se for te ajudar, x=2 é uma soluçào "óbvia" do > >>equação. Olhando pelo gráfico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da exp(x)), > >>vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o outro. > >> > >>Parêntesis > >> Momento infame e infeliz daquele professor q não sabe responder: > >> "Pronto, > >>já resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda raiz. > >>Agora o resto é com vc" > >>Fim do(s) parêntesis > >> > >>[]'s > >> > >>Alexandre Tessarollo > >> > >>========================================================================= > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >>========================================================================= > > > > > >_________________________________________________________________ > >O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: > >http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= _________________________________________________________ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================