From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> > Grande Duda ! > E ai maluco, tudo blz ? > > Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde > estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que > cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear > certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa > que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com > isso. > > O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou : > > E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS > DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ? > > Eu conjecturei algo mais amplo, a saber : > > SE "A", "B" e "C" SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA > N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA > PROGRESSAO ARITMETICA. > > Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet. > > > PRIMEIRO PASSO DA IDEIA > > Sem perda de generalidade podemos supor A < B < C. Evidentemente : RAIZ_N(A) > < RAIZ_N(B) < RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA > significa dizer que existem naturais "R", "S" e "T" tais que : > > X + YR = RAIZ_N(A) > X + YS = RAIZ_N(B) > X + YT = RAIZ_N(C) > > Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : > X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA ) > > Veja que eu nao estou impondo que "R", "S" e "T" estejam em PA. Nao estou > impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, > por exemplo, R < S < T. > > O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao > X + Y*N - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y > > o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R < S < T. Se Y < 0 ela sera > decrescente e R > S > T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um > ponto interior ao intervalo de extremos R e T. > > Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R < T. Queremos, pois, > saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal > que X + YZ = RAIZ_N(B). > > > > SEGUNDO PASSO DA IDEIA. > > Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto > que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)) e que tem > abscissa R+1 ? sera : > > RAIZ_N(A) + (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) = > [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R) > > Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria : > [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R) > > Os pesos sao sempre da forma : "T-R-i" e "i", isto e, nos estamos diante de > uma media ponderada da forma : > > (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R. > > Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) > a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois > pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos > acima e tais que : > > RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) > >
Caro amigo Paulo, usando a sua notação. Suponhamos que existe três pontos a < b < c naturais (não potências n-ésimas) de forma que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) pertencem a uma progressão aritmética. Essa progressão possui primeiro termo X e razão Y. E existem dois inteiros R e T tais que: X + Y*R = R_n(a) X + Y*T = R_n(c) Você mostrou que caso seja verdade que R_n(b) pertenca a essa mesma progressão aritmética então vai existir um natural S tal que: X + Y*S = R_n(b) E mais o S divide o segmento [R, T] na mesma proporção que o R_n(b) divide o segmento [R_n(a), R_n(c)]. Em outras palavras o ponto (S, R_n(b)) pertence à reta que liga os dois pontos (R, R_n(a)) e (T, R_n(c)). Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes: (a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c)) Ou ainda (a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T) E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não demonstrou. E desse modo a convexidade da função f não contradisse a existência dos R_n(a), R_n(b) e R_n(c) dentro de uma progressão aritmética. Outro detalhe: onde na sua prova, você usa o fato de que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) não são inteiros? Um abração! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > TERCEIRO PASSO DA IDEIA : > > A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer > naturais A e C vale : > > RAIZ_N((A+C)/2) > (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2 > > O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de > convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal > como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA > DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um > caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS > N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE ! > > Um abraco > Paulo Santa Rita > 4,1247,220502 > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================