Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos
cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em P.A.
Solução: Suponha que, de fato, que as raizes cubicas (vou chama-las
de x, y e z repectivamente) estao em P.A.:
2y=x+z
Entao:
8y^3=x^3+z^3+3xz(x+z)=x^3+z^3+3xz(2y)
(8b-a-c)/6 = xyz
[(8b-a-c)/6]^3=abc
Como o lado esquerdo é um "racional ao cubo" e o lado direito é um
inteiro, concluímos que ambos são um cubo perfeito. Como a,b e c são primos
entre si e abc é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser cubo
perfeito, contradizendo o enunciado.
Abraço,
Ralph
Que tal?
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