E aí, Villard?
Espero que essa solução seja suficientemente elegante. :)
Fixe um E > 0. (esse é o epsilon dos livros de análise)
Suponha S = SOMATÓRIO{k=1...infinito : a_k} e s_n = SOMATÓRIO{k=1...n : a_k}
Pela definição, existe um n_1 tal que n > n_1 implica
|S - s_n | < 2E ou ainda
| SOMATÓRIO{k=n+1...infinito : a_k}| < 2E
Mantenha esse n_1 fixado.
Essa última implica que existe um n_2 tal que se n > n_2 então
| SOMATÓRIO{k=n_1+1...n : a_k}| < E
Agora escolha um n_3 > n_2 tal que se n > n_3 então
(n_1 / n) < E
Repito os passos: escolhemos o n_1 tal que S_n fosse perto do limite para
todo n > n_1
Aí escolhemos um n_2 para que |s_n - s_(n_1+1)| fosse pequeno para todo n >
n_2
Por fim, escolhemos um n_3 maior que n_1 e n_2 tal que (1/n) * n_1 < E
Suponha que n > n_3 então
| SOMATÓRIO{k=1...n : (k*a_k)/n }| <
| SOMATÓRIO{k=1...n_1 : (k*a_k)/n } | + | SOMATÓRIO{k=n_1+1...n :
(k*a_k)/n } | <
| (n_1/n)*SOMATÓRIO{k=1...n_1 : a_k }| + |SOMATÓRIO{k=n_1+1...n : a_k}| <
(E) * |(S+E)| + E = E(|S + E| + 1)
O primeiro (E) é por que n > n_3. O segundo |S+E| é por que n > n_1. E o
terceiro E é por que n > n_2.
Claro que tomando o E muito pequeno tornamos E(|S + E| + 1) o quao pequeno
quanto quisermos. Portanto o limite que tu perguntou é zero.
Está certo isso?
Que outra demonstração você tinha em mente?
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
PS. Villard, e outros interessados: o que você acha de fazermos uma lista
para discutirmos problemas universitários?
>From: Rodrigo Villard Milet
>
>
>Talvez a questão que estou enviando seja fácil... mas quero ver se alguém
dá >alguma solução elegante pra ela... lá vai :
>Sabe-se que somatório { a(n) } converge. Calcular lim
[(1/n)*somatório(k*a>(k))], onde o somatório vai de 1 até n e o limite é qd
n-> +oo.
>Abraços,
> Villard
>
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