> Oi Pessoal! > > "Sejam a, b, c, p quatro numeros reais dados tais que > a, b e c não sejam simultaneamente iguais e: > a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a = p > > Qual o valor de (abc + p)?" > a + 1/b = b + 1/c acarreta (a - b) = 1/c - 1/b = (b - c)/bc
logo [1] (a - b) = (b - c)/bc analogamente [2] (b - c) = (c - a)/ac [3] (c - a) = (a - b)/ab note que se a = b ou b = c ou c = a então a = b = c. Logo a, b, c sao dois a dois distintos. Multiplicando [1], [2] e [3] tem-se (a-b)(b-c)(c-a) = (b-c)(c-a)(a-b)/(abc^2) donde, cancelando 1 = 1/(abc^2) e abc = 1 ou abc = -1 (i) Suponha que abc = -1. Entao p = a + 1/b = a - (abc)/b = a - ac, entao p = a - ac e analogamente p = b - ba p = c - cb logo p + abc = (a-ac) + abc = a(1-c+bc) = a(1 - (c-bc)) = = a(1 - p), isto eh p+abc = a(1-p), entao p + abc = a(1-p) = b(1-p) = c(1-p) como a,b,c sao distintos, p = 1 logo p + abc = 1 - 1 = 0 (ii) Suponha que abc=1 p = a + 1/b = a + abc/b = a + ac, logo p = a + ac e analogamente p = b + ab p = c + bc entao p + abc = (a+ac) + abc = a(1+c+bc) = a(1 + p), isto eh p+abc = a(1 + p), analogamente p+abc = b(1 + p) p+abc = c(1 + p) logo a(1+p)=b(1+p)=c(1+p) como a,b,c sao distintos, entao p = -1 (e abc =1) donde p + abc = -1 + 1 = 0 Abrac,os, Eric. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================