At 14:00 6/14/2002 -0300, you wrote: >Eu, de novo, com meus problemas de analitica. > >Tendo dois pontos A(a,b) B(c,d), eu consigo achar a equacao da reta que >passa pelos dois pontos multiplicando a matriz {a, b | c, d} por {x,y}. >Como eu posso provar que isso é verdade? >Outra coisa que eu fiz, mas acho que a resposta nao está conferindo. >Como eu provo que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio? >Pode ser por analitica ou por plana.
Hum.. vou comentar primeiro o segundo que tenho mais certeza. Temos o paralelogramo ABCD (segue figura). Seja M o ponto médio do segmento AC, ou seja, AM[vetor] = MC[vetor]. Queremos mostrar que M também é ponto médio do segumento BC, ou seja, que BM[vetor] = MD[vetor]. BM[vetor] = BC[vetor] + CM[vetor] = MA[vetor] + AD[vetor] = -DM[vetor] = MC[vetor]. Logo as duas diagonais AC e BD se cortam ao meio. O primeiro problema é algo que vem me atormentando há tempos mas eu conheço de uma maneira levemente diferente. Sejam os pontos A=(a,b) e B=(c,d) montando a seguinte matriz e igualando o determinante a 0, tambem chegamos na equação geral da reta que passa por esses dois pontos: | x y 1 | | a b 1 | = 0 | c d 1 | matriz [1] Essa matriz também tem outras propriedades misteriosas... Tomemos um triangulo em E² com vértices A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), sendo D o determinante da matriz abaixo: | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | matriz[2] A área do triângulo desse triangulo é dada por |D|/2. A partir dessa propriedade fica natural 'zerarmos' o determinante que usamos para achar a equação da reta... já que se os pontos sao colineares eles nao podem formar um triangulo e portanto a area deve ser nula. Ainda assim.. só disfarçamos um pouco o problema... fica a questão. porque cargas d'água ao montarmos a matriz [2] acima, calcularmos o determinante, pegarmos seu valor absoluto e dividirmos por dois temos a area do triangulo... Quando trabalhamos em E³, quando temos tres vetores u=(x1,y1,z1) v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3). e calculamos o determinante da matriz formada pelos valores de x1,y1,z1...etc. se os tres vetores forem linearmente independentes, obtemos o volume do paralelepipedo dos quais os tres sao vertices. Se eles forem linearmente dependentes esse determinante é 0. Nao sei até que ponto essas propriedades misteriosas da matrizes se aplicam ou podem ser provadas em E². Voltando para a matriz[1] podemos imaginar tres vetores, v=(x,y,1), u=(c,d,1) e w=(e,f,1). Ao impormos D(matriz[1]) = 0, queremos que esses tres vetores sejam linearmente dependentes, ou seja paralelos ao mesmo plano. Novamente.. ainda é um mistério pra mim como isso se relaciona as retas em E². Bom, acho que só atrapalhei e inventei mais duvidas do que solucionei seu problema de fato... mas como já comentei era algo que vinha me atormentando e com sorte outros membros da lista vao jogar uma luz nisso :P "... a perfect formulation of a problem is already half its solution." David Hilbert. - []'s Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa USP, IME, Estatística http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz
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