Essa eh para fortalecer os numeros complexos (o enunciado "traduzido" esta no final). Q2) Vou usar a' para representar o conjugado de a. Os lemas abaixo sao usados toda hora em problemas de geometria, e por isso eu os coloquei em "evidencia".
1. Suponha, spg, q o circunraio de ABC eh 1. Ponha B=-1, C=1, A=a^2 = cis(2x); a = cis(x), com 30<x<90. Note que a' = 1/a, (a^2)'=1/(a^2). Lema1: Se x e y sao pontos do circulo unitario, a reta que os une tem eq. z + (xy)z' = x+y. Lema2: Os pontos medios dos arcos formados pelos complexos a^2 e b^2 sao ab e -ab (de fato, se m eh medio, arg(m)-arg(a)=arg(b)-arg(m) => m/a=b/m). 2. Determinacao do ponto J: Ponto D: arg(D) = (180+2x)/2 = 90+x donde d = cis(90)*cisx = ia Reta AD: z + (ia^3)z' = ... Reta OJ (//AD passando pela origem): z + (ia^3)z' = 0 (1) Reta AC: z + (a^2)z' = a^2 + 1 (2) Resolvendo as eqs (1) e (2), encontramos o ponto J: z = a(a-i) 3. Determinando E,F: Temos |z-a^2|=|z| (esta na mediatriz) e zz' = 1 (esta na circunferencia), logo (z-a^2)(z' - 1/a^2) = zz' Simplificando, z^2 - (a^2)z + a^4 = 0. Usando baskara ou multiplicando os 2 lados por z+a^2, obtemos p. ex: e = (a^2)cis(60) e f = (a^2)cis(-60) 4. Ponto medio do arco CF: m=acis(-30) (note que, como x>30, esse ponto eh de fato o que esta entre C e F, pois argm = x-30>0). 5. J esta na bissetriz EM: Eh soh ver que J verifica a eq. da reta EM: z + (a^3)cis(30)z' = (a^2)cis60 + acis(-30) . Eh soh substituir z=a(a-i), z'=(1+ia)/(a^2) e ver que os coeficientes de a e de a^2 sao iguais dos dois lados. 6. J esta na bissetriz de C: O pto medio do arco EF que nao contem C eh sqrt(e*f) = a^2 = A. Logo, a bissetriz de C eh exatamente a reta CA, donde J esta nessa bissetriz. (essa parte ateh eu consegui fazer por plana :) 7. Logo, J pertence a duas bissetrizes, e portanto eh o incentro. Estive tentando fazer as questoes do primeiro dia da prova.. Comecei pela 2, que achei mais facil, e depois tentei a primeira.. parei de tentar a 3 agora pq nao estava produzindo muita coisa.. Nos proximos dois emails vou mandar minhas ideias/solucoes.. Mandem as suas tmb! Abracos, Marcio ----- Original Message ----- From: "Ralph Teixeira" <[EMAIL PROTECTED]> To: "'Rodrigo Villard Milet '" <[EMAIL PROTECTED]>; "'Obm '" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, July 26, 2002 10:10 AM Subject: RE: [obm-l] IMO!?!? > Let \ $BC$ be a diameter of the circle ${\Gamma}$ with > centre $O$. \ Let $A$ be a point on $\Gamma$ such that $0{{}^\circ > }<\angle AOB<120{{}^\circ}$. \ Let $D$ be the midpoint of the > arc $AB$ not containing $C$. \ The line through $O$ parallel > to $DA$ meets the line $AC$ at $J$. \ The perpendicular bisector > of $OA$ meets $\Gamma$ at $E$ and at $F$. \ Prove that $J$ is > the incentre of the triangle $CEF$. "Traducao": Seja BC diametro de um circunferencia com centro O. Seja A um pto da circunferencia com AOB<120 graus. Seja D medio do arco AB que nao contem C. A reta por O paralela a DA encontra AC em J. A mediatriz de OA encontra a circunferencia em E e F. Mostre que J eh incentro do triangulo CEF. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================