Olá pessoal, aí vai um probleminha que um amigo me propôs. Também vai a minha solução.
Não sei se está correta, pois não conheço a resposta certa. Se alguém achar que tem
falha, por favor me diga.
A questão é:
- Quantos números primos p positivos existem tal que p^(2n) + p^(2n+1) seja um
quadrado perfeito, para todo n natural?
Minha solução:
Seja s = p^(2n) + p^(2n+1). Como s deve ser um quadrado perfeito, então tem que
existir m tal que s = m^2. Mas s pode ser fatorado da seguinte forma s = p^(2n)*[p +
1]. Como 2n é sempre um número par, o problema agora é encontrar a quantidade de
primos p positivos tal que p+1 seja um quadrado perfeito. Dessa forma, tem que existir
k tal que p+1=k^2, isso implica p=k^2-1, ou seja, p = (k-1)*(k+1). Desta última
igualdade percebe-se que p é o produto de dois número. Ora, mas p é primo e, para que
seja escrito como o produto de dois números, esses números só podem ser 1 e p [-1 e -p
não podem ser pois p é positivo]. Assim, ou k-1 = 1 e k+1=p ou k-1=p e k+1=1. Disto
podemos tirar:
1) k-1=1 implica k=2
k+1=p implica p=3, que é primo
2) k+1=1 implica k=0
k-1=p implica p=-1, que não é nem primo nem positivo, por isso não
serve.
Conclusão: Existe apenas um primo p [p=3] que satisfaz a condição.
Edilon Ribeiro.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=========================================================================
