Olá, meu nome é Domingos, faço Ciências da Computação no IME.USP e pretendo ser mais um membro dessa prestigiada lista!
Eu gostaria de ver se alguém pode me ajudar com uma questão... Essa é da olimpíada do Cone Sul: ---------------------------------------- Dizemos que um inteiro n, n > 1, é ensolarado se ele é divisível pela soma dos seus fatores primos. Por exemplo, 90 é ensolarado pois 90 = 2·3^2·5 e 2 + 3 + 5 = 10 divide 90. Mostre que existe um número ensolarado com pelo menos 10^2002 fatores primos distintos. ---------------------------------------- A minha idéia é que é possível ir além do que o enunciado pede e verificar que existem números ensolarados com qualquer número de fatores primos maior do que 3! Pra começar: Seja a = p1^r1.p2^r2...pn^rn (ri >= 1 pra 1 <= i <= n), uma fatoração de a em primos se p1 + p2 + ... + pn divide a, temos que p1 + ... + pn deve ter uma fatoração em primos p1, ... pn, pois se existe um primo que divide a soma mas não divide a, temos que a soma não divide a. logo: p1 + p2 + .... + pn = p1^s1.p2^s2....pn^sn (si >= 0 pra 1 <= i <= n) a partir daí uma interessante conjectura surgiu (a qual eu quero provar): [conjectura] Para todo inteiro n >= 3 temos uma seqüência de primos ordenados tais que os (n - 1) primeiros termos desta são os (n - 1) primeiros primos {2, 3, 5, 7, ...} é sempre possível escolher um primo maior que todos os anteriores tais que a soma dos termos da seqüência possa ser fatorada em primos da seqüência. exemplos 2 + 3 + 5 = 10 = 2.5 2 + 3 + 5 + 17 = 27 = 3.3.3 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 = 2.2.7 ... Eu fiz um pequeno programa para testar essa conjectura e ela foi verificada para seqüências de até alguns milhares de primos, o que me dá uma boa impressão a respeito dela. O código fonte em C (na verdade C++) está disponível em: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/primes-conjecture.cpp Alguém tem alguma idéia de como demonstrar a conjectura? [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================