Eh verdade, foi mal. De A(A^2-kI)=0 so da pra tirar que ou det(A)=0, ou det(A^2-kI)=0.
Mas me parece que eu nao precisava desse primeiro passo. Se A+I nao for inversivel, entao (A+I)x=0, para algum x nao nulo. E isto e equivalente a Ax=-x. Que implica A^3x=-A^2x=Ax=-x. Mas por outro lado, A^3x=kAx=-kx. Logo, x=kx, o que contradiz k<>1. Salvador On Tue, 19 Nov 2002, Augusto César Morgado wrote: > Epa! A pode não ser identicamente nula e A^3 = kA e A^2 diferente de > kI. Por exemplo, considere A 2x2 com primeira coluna 2 2 e segunda > coluna 0 0. A não é identicamente nula, A^3 = 4A e A^2 não é igual a 4I. > Morgado > > > Salvador Addas Zanata wrote: > > > > >Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI. > > > > > >Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema > > > > > >(A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula. > > > > > >Assim, Ax=-x => A^2x=-Ax=x > > > > > >Mas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamente > >nulo e k<>1. > > > > > > > > > >Abraco, > > > >Salvador > > > > > > > > > >On Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote: > > > >> Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na > >>qustão do IME abaixo. > >> --> Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, > >>e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, > >>prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz > >>identidade nxn. > >> > >> > >> > >> > >> > >>__________________________________________________________________________ > >>Venha para a VilaBOL! > >>O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! > >>http://vila.bol.com.br > >> > >> > >>========================================================================= > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >>========================================================================= > >> > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================